ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-7. вариант - В1

### 1. Построение графиков функций #### Первый набор функций Построение графика функции $y = 2\operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ осуществляется с помощью геометрических преобразований базового графика $y = \operatorname{ctg} x$: 1. $y = \operatorname{ctg} x$ — базовая котангенсоида с периодом $T = \pi$. * Вертикальные асимптоты: $x = \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$ (в частности, $x = 0$, $x = \pi$). * Нули функции: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. * Контрольные точки на интервале $(0; \pi)$: $\left(\frac{\pi}{4}; 1\right)$, $\left(\frac{\pi}{2}; 0\right)$, $\left(\frac{3\pi}{4}; -1\right)$. 2. $y = \operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ — сдвиг графика $y = \operatorname{ctg} x$ вправо вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{4}$. * Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$ (в частности, $x = \frac{\pi}{4}$, $x = \frac{5\pi}{4}$). * Нули функции: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. * Контрольные точки: $\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)$, $\left(\frac{3\pi}{4}; 0\right)$, $(\pi; -1)$. 3. $y = 2\operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ — растяжение предыдущего графика вдоль оси $Oy$ в $2$ раза от оси $Ox$ (ординаты каждой точки умножаются на $2$). * Асимптоты и нули функции остаются прежними. * Контрольные точки: $\left(\frac{\pi}{2}; 2\right)$, $\left(\frac{3\pi}{4}; 0\right)$, $(\pi; -2)$. --- #### Второй набор функций Построение графика функции $y = 0{,}5\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ осуществляется с помощью геометрических преобразований базового графика $y = \operatorname{tg} x$: 1. $y = \operatorname{tg} x$ — базовая тангенсоида с периодом $T = \pi$. * Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$ (в частности, $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = \frac{\pi}{2}$). * Нули функции: $x = \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. * Контрольные точки на интервале $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$: $\left(-\frac{\pi}{4}; -1\right)$, $(0; 0)$, $\left(\frac{\pi}{4}; 1\right)$. 2. $y = \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ — сдвиг графика $y = \operatorname{tg} x$ влево вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{4}$. * Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$ (в частности, $x = -\frac{3\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$). * Нули функции: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. * Контрольные точки: $\left(-\frac{\pi}{2}; -1\right)$, $\left(-\frac{\pi}{4}; 0\right)$, $(0; 1)$. 3. $y = 0{,}5\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ — сжатие предыдущего графика к оси $Ox$ вдоль оси $Oy$ в $2$ раза (ординаты каждой точки умножаются на $0{,}5$). * Асимптоты и нули функции остаются прежними. * Контрольные точки: $\left(-\frac{\pi}{2}; -0{,}5\right)$, $\left(-\frac{\pi}{4}; 0\right)$, $(0; 0{,}5)$. --- ### 2. Область определения функции **а)** $y = \frac{\sqrt{x + 6} - x^2}{x^2 - 1}$ Функция определена при одновременном выполнении двух условий: выражение под знаком квадратного корня неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю. Составим и решим систему: $$ \begin{cases} x + 6 \ge 0, \\ x^2 - 1 \ne 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \ge -6, \\ x^2 \ne 1 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \ge -6, \\ x \ne -1, \\ x \ne 1 \end{cases} $$ Ответ: $D(y) = [-6; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. --- **а)** $y = \frac{\sqrt{20 - x} - x^2}{4 - x^2}$ Функция определена при условиях неотрицательности подкоренного выражения и отличия знаменателя от нуля: $$ \begin{cases} 20 - x \ge 0, \\ 4 - x^2 \ne 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \le 20, \\ x^2 \ne 4 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \le 20, \\ x \ne -2, \\ x \ne 2 \end{cases} $$ Ответ: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; 20]$. --- **б)** $y = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}$ Применим формулу косинуса двойного аргумента в знаменателе: $$ \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = \cos\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = \cos x $$ Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $$ \cos x \ne 0 $$ Решим уравнение $\cos x = 0$: $$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Следовательно, функция не определена в этих точках. Ответ: $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ (или $D(y) = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + \pi k \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$). --- **б)** $y = \frac{1}{4 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}$ Преобразуем знаменатель, выделив формулу синуса двойного аргумента: $$ 4 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 2 \cdot \left(2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}\right) = 2 \sin\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = 2 \sin x $$ Знаменатель не должен равняться нулю: $$ 2 \sin x \ne 0 \iff \sin x \ne 0 $$ Решим уравнение $\sin x = 0$: $$ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \ne \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ (или $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$). --- ### 3. Область значений функции $$ y = 4 \sin^2 \left( x - \frac{\pi}{4} \right) - 3 $$ Определим множество значений выражения последовательными оценками: 1. Для любого $x \in \mathbb{R}$ значение синуса лежит в пределах: $$ -1 \le \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \le 1 $$ 2. При возведении в квадрат получаем: $$ 0 \le \sin^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \le 1 $$ 3. Умножим все части двойного неравенства на $4$: $$ 0 \le 4 \sin^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \le 4 $$ 4. Вычтем $3$ из каждой части неравенства: $$ 0 - 3 \le 4 \sin^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 3 \le 4 - 3 $$ $$ -3 \le y \le 1 $$ Функция непрерывна на всей числовой прямой, следовательно, принимает все значения из отрезка $[-3; 1]$. Ответ: $E(y) = [-3; 1]$.