ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-61. вариант - В2

### Вариант В2 **1.** В полном наборе домино содержится $28$ костей. Значит, общее число равновозможных элементарных исходов $n = 28$. а) Найдем вероятность того, что сумма цифр на выбранной кости больше 9 (то есть равна 10, 11 или 12). Этому условию удовлетворяют кости: - с суммой 10: $(4; 6)$, $(5; 5)$ — 2 кости; - с суммой 11: $(5; 6)$ — 1 кость; - с суммой 12: $(6; 6)$ — 1 кость. Число благоприятных исходов: $m = 2 + 1 + 1 = 4$. По классическому определению вероятности: $$ P = \frac{m}{n} = \frac{4}{28} = \frac{1}{7} $$ б) Найдем вероятность того, что обе цифры на кости — нечетные. Нечетные цифры на костях домино: 1, 3, 5. Этому условию удовлетворяют следующие кости: - дубли: $(1; 1)$, $(3; 3)$, $(5; 5)$ — 3 кости; - кости с разными нечетными цифрами: $(1; 3)$, $(1; 5)$, $(3; 5)$ — 3 кости. Число благоприятных исходов: $m = 3 + 3 = 6$. Вероятность: $$ P = \frac{m}{n} = \frac{6}{28} = \frac{3}{14} $$ Ответ: а) $\dfrac{1}{7}$; б) $\dfrac{3}{14}$. --- **2.** Всего в ящике $15$ шаров, из них $5$ черных и $15 - 5 = 10$ шаров других цветов. Наугад извлекают $3$ шара. Общее число способов выбрать 3 шара из 15: $$ n = C_{15}^3 = \frac{15!}{3! \cdot 12!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 455 $$ Событие $A$ — из трех выбранных шаров ровно два окажутся черными (и один шар другого цвета). Число способов выбрать 2 черных шара из 5 и 1 шар другого цвета из 10: $$ m = C_5^2 \cdot C_{10}^1 = \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot 10 = 10 \cdot 10 = 100 $$ Искомая вероятность: $$ P(A) = \frac{m}{n} = \frac{100}{455} = \frac{20}{91} $$ Ответ: $\dfrac{20}{91}$. --- **3.** В слове «комбинаторика» содержится $13$ букв: к — 2, о — 2, м — 1, б — 1, и — 2, н — 1, а — 2, т — 1, р — 1. Последовательно наугад выбирают 4 буквы без возвращения. Общее число исходов выбора четырех букв с учетом порядка их извлечения равно числу размещений: $$ n = A_{13}^4 = 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 = 17160 $$ Найдем число благоприятных исходов, при которых получается слово «атом»: - первую букву «а» можно выбрать из 2 имеющихся в слове букв «а» ($2$ способа); - вторую букву «т» можно выбрать из 1 имеющейся буквы «т» ($1$ способ); - третью букву «о» можно выбрать из 2 имеющихся букв «о» ($2$ способа); - четвертую букву «м» можно выбрать из 1 имеющейся буквы «м» ($1$ способ). По правилу произведения число благоприятных исходов равно: $$ m = 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = 4 $$ Вероятность события равна: $$ P = \frac{m}{n} = \frac{4}{17160} = \frac{1}{4290} $$ Ответ: $\dfrac{1}{4290}$. --- **4.** В колоде из 32 карт содержатся: - 4 дамы и $32 - 4 = 28$ карт других достоинств; - 16 карт красной масти и 16 карт черной масти. Общее число способов выбрать 3 карты из 32: $$ n = C_{32}^3 = \frac{32 \cdot 31 \cdot 30}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 4960 $$ 1) Пусть событие $A$ — среди трех выбранных карт ровно одна дама (и две карты не дамы). Число благоприятных исходов: $$ m_A = C_4^1 \cdot C_{28}^2 = 4 \cdot \frac{28 \cdot 27}{2} = 4 \cdot 378 = 1512 $$ Вероятность события $A$: $$ P(A) = \frac{1512}{4960} $$ 2) Пусть событие $B$ — среди трех выбранных карт ровно две красные карты (и одна черная карта). Число благоприятных исходов: $$ m_B = C_{16}^2 \cdot C_{16}^1 = \frac{16 \cdot 15}{2} \cdot 16 = 120 \cdot 16 = 1920 $$ Вероятность события $B$: $$ P(B) = \frac{1920}{4960} $$ Сравним вероятности: Так как $1920 > 1512$, получаем $P(B) > P(A)$. Ответ: вероятнее найти ровно две красные карты.