ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы контрольные работы / К-6. вариант - А1

### 1 Вычислите: **а)** $3 \log_2 \frac{1}{8} + 10^{\lg 2 + \lg 5}$ 1. Вычислим первое слагаемое: $\frac{1}{8} = 2^{-3}$, тогда $\log_2 \frac{1}{8} = \log_2 (2^{-3}) = -3$. $3 \log_2 \frac{1}{8} = 3 \cdot (-3) = -9$. 2. Преобразуем показатель второго слагаемого, используя свойство суммы логарифмов: $\lg 2 + \lg 5 = \lg (2 \cdot 5) = \lg 10 = 1$. Тогда: $10^{\lg 2 + \lg 5} = 10^1 = 10$. 3. Найдем значение выражения: $-9 + 10 = 1$. Ответ: $1$. **б)** $2 \log_3 6 - \log_3 12$ 1. Внесем коэффициент перед логарифмом в показатель степени аргумента: $2 \log_3 6 = \log_3 (6^2) = \log_3 36$. 2. Применим свойство разности логарифмов: $\log_3 36 - \log_3 12 = \log_3 \left(\frac{36}{12}\right) = \log_3 3 = 1$. Ответ: $1$. --- ### 2 Решите уравнение: **а)** $\log_{0{,}5}(x^2 + x) = -1$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x^2 + x > 0 \iff x(x + 1) > 0 \iff x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$. По определению логарифма: $x^2 + x = 0{,}5^{-1}$ Так как $0{,}5 = \frac{1}{2}$, то $0{,}5^{-1} = 2$: $$ x^2 + x = 2 $$ $$ x^2 + x - 2 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$. Проверим корни по ОДЗ: * При $x = -2$: $(-2)^2 + (-2) = 4 - 2 = 2 > 0$ — корень подходит. * При $x = 1$: $1^2 + 1 = 2 > 0$ — корень подходит. Ответ: $-2$; $1$. **б)** $2 \log_3 x = \log_3 (2x^2 - x)$ ОДЗ уравнения: $$ \begin{cases} x > 0, \\ 2x^2 - x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0, \\ x(2x - 1) > 0 \end{cases} \iff x > \frac{1}{2} $$ Преобразуем левую часть: $\log_3 (x^2) = \log_3 (2x^2 - x)$. Так как основания логарифмов равны, приравниваем подлогарифмические выражения: $$ x^2 = 2x^2 - x $$ $$ x^2 - x = 0 $$ $$ x(x - 1) = 0 $$ Корни уравнения: $x = 0$ или $x = 1$. С учетом ОДЗ ($x > 0{,}5$): * $x = 0$ — не удовлетворяет ОДЗ (посторонний корень). * $x = 1$ — удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $1$. --- ### 3 Решите уравнение: **а)** $\log_{0{,}1}(x^2 - 3x) = -1$ ОДЗ: $x^2 - 3x > 0 \iff x(x - 3) > 0 \iff x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$. По определению логарифма: $x^2 - 3x = 0{,}1^{-1}$ Так как $0{,}1 = \frac{1}{10}$, то $0{,}1^{-1} = 10$: $$ x^2 - 3x = 10 $$ $$ x^2 - 3x - 10 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 5$, $x_2 = -2$. Оба корня принадлежат ОДЗ: * $5 \in (3; +\infty)$; * $-2 \in (-\infty; 0)$. Ответ: $-2$; $5$. **б)** $2 \log_5 (-x) = \log_5 (x + 2)$ ОДЗ: $$ \begin{cases} -x > 0, \\ x + 2 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 0, \\ x > -2 \end{cases} \iff x \in (-2; 0) $$ Преобразуем уравнение: $\log_5 ((-x)^2) = \log_5 (x + 2)$ $$ \log_5 (x^2) = \log_5 (x + 2) $$ Приравниваем аргументы логарифмов: $$ x^2 = x + 2 $$ $$ x^2 - x - 2 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$. Проверим ОДЗ ($x \in (-2; 0)$): * $x = 2$ — не удовлетворяет ОДЗ (посторонний корень). * $x = -1$ — удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $-1$. --- ### 4 Решите систему уравнений: $$ \begin{cases} \log_3(x + y) = 2, \\ 9^{\log_3 \sqrt{x-y}} = 5 \end{cases} $$ ОДЗ системы: $$ \begin{cases} x + y > 0, \\ x - y > 0 \end{cases} $$ 1. Из первого уравнения по определению логарифма: $x + y = 3^2 \implies x + y = 9$. 2. Преобразуем левую часть второго уравнения, используя тождество $a^{\log_a b} = b$: $9^{\log_3 \sqrt{x-y}} = \left(3^2\right)^{\log_3 \sqrt{x-y}} = 3^{2 \log_3 \sqrt{x-y}} = 3^{\log_3 \left(\sqrt{x-y}\right)^2} = \left(\sqrt{x-y}\right)^2 = x - y$. Следовательно, второе уравнение принимает вид: $x - y = 5$. 3. Запишем и решим полученную систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 9, \\ x - y = 5 \end{cases} $$ Сложим уравнения почленно: $2x = 14 \implies x = 7$. Подставим $x = 7$ в первое уравнение: $7 + y = 9 \implies y = 2$. Пара $(7; 2)$ удовлетворяет ОДЗ: $7 + 2 = 9 > 0$, $7 - 2 = 5 > 0$. Ответ: $(7; 2)$. --- ### 5 Найдите значения $x$, при которых функция принимает указанное значение: **1) Для функции $f(x) = x^{\log_2 x + 2}$ значение равно 8:** Составим уравнение: $x^{\log_2 x + 2} = 8$. ОДЗ: $x > 0$. Прологарифмируем обе части по основанию 2: $$ \log_2 \left(x^{\log_2 x + 2}\right) = \log_2 8 $$ Вынесем показатель степени перед логарифмом: $$ (\log_2 x + 2) \cdot \log_2 x = 3 $$ $$ \log_2^2 x + 2\log_2 x - 3 = 0 $$ Введем замену $t = \log_2 x$: $$ t^2 + 2t - 3 = 0 $$ Корни по теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = -3$. Вернемся к переменной $x$: 1. $\log_2 x = 1 \implies x = 2^1 = 2$; 2. $\log_2 x = -3 \implies x = 2^{-3} = \frac{1}{8}$. Оба корня положительны и удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $\frac{1}{8}; 2$. **2) Для функции $f(x) = x^{\log_3 x - 2}$ значение равно 27:** Составим уравнение: $x^{\log_3 x - 2} = 27$. ОДЗ: $x > 0$. Прологарифмируем обе части по основанию 3: $$ \log_3 \left(x^{\log_3 x - 2}\right) = \log_3 27 $$ $$ (\log_3 x - 2) \cdot \log_3 x = 3 $$ $$ \log_3^2 x - 2\log_3 x - 3 = 0 $$ Введем замену $t = \log_3 x$: $$ t^2 - 2t - 3 = 0 $$ Корни по теореме Виета: $t_1 = 3$, $t_2 = -1$. Вернемся к переменной $x$: 1. $\log_3 x = 3 \implies x = 3^3 = 27$; 2. $\log_3 x = -1 \implies x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$. Оба корня положительны и удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $\frac{1}{3}; 27$.