ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-52. вариант - Б1

## 1 ### Случай 1: $z_1 = 15 - 5i$, $z_2 = 1 + 2i$ **а)** Найдем сумму $z = z_1 + z_2$: $$ z = (15 - 5i) + (1 + 2i) = (15 + 1) + (-5 + 2)i = 16 - 3i $$ Вещественная часть: $\operatorname{Re}(z) = 16$. Мнимая часть: $\operatorname{Im}(z) = -3$. **б)** Найдем разность $z = z_1 - z_2$: $$ z = (15 - 5i) - (1 + 2i) = (15 - 1) + (-5 - 2)i = 14 - 7i $$ Сопряженное число: $\overline{z} = 14 + 7i$. Противоположное число: $-z = -(14 - 7i) = -14 + 7i$. **в)** Найдем произведение сопряженных чисел $\overline{z} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$. Так как $z_1 = 15 - 5i$ и $z_2 = 1 + 2i$, то $\overline{z_1} = 15 + 5i$, $\overline{z_2} = 1 - 2i$: $$ \overline{z} = (15 + 5i)(1 - 2i) = 15 - 30i + 5i - 10i^2 = 15 - 25i + 10 = 25 - 25i $$ **г)** Найдем частное $z = \frac{z_2}{z_1}$. Домножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю: $$ z = \frac{1 + 2i}{15 - 5i} = \frac{1 + 2i}{5(3 - i)} = \frac{(1 + 2i)(3 + i)}{5(3 - i)(3 + i)} = \frac{3 + i + 6i + 2i^2}{5(9 - i^2)} = \frac{3 + 7i - 2}{5(9 + 1)} = \frac{1 + 7i}{50} = \frac{1}{50} + \frac{7}{50}i $$ --- ### Случай 2: $z_1 = 5 + 10i$, $z_2 = 2 - i$ **а)** Найдем сумму $z = z_1 + z_2$: $$ z = (5 + 10i) + (2 - i) = (5 + 2) + (10 - 1)i = 7 + 9i $$ Вещественная часть: $\operatorname{Re}(z) = 7$. Мнимая часть: $\operatorname{Im}(z) = 9$. **б)** Найдем разность $z = z_1 - z_2$: $$ z = (5 + 10i) - (2 - i) = (5 - 2) + (10 - (-1))i = 3 + 11i $$ Сопряженное число: $\overline{z} = 3 - 11i$. Противоположное число: $-z = -(3 + 11i) = -3 - 11i$. **в)** Найдем произведение сопряженных чисел $\overline{z} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$. Так как $z_1 = 5 + 10i$ и $z_2 = 2 - i$, то $\overline{z_1} = 5 - 10i$, $\overline{z_2} = 2 + i$: $$ \overline{z} = (5 - 10i)(2 + i) = 10 + 5i - 20i - 10i^2 = 10 - 15i + 10 = 20 - 15i $$ **г)** Найдем частное $z = \frac{z_2}{z_1}$: $$ z = \frac{2 - i}{5 + 10i} = \frac{2 - i}{5(1 + 2i)} = \frac{(2 - i)(1 - 2i)}{5(1 + 2i)(1 - 2i)} = \frac{2 - 4i - i + 2i^2}{5(1 - 4i^2)} = \frac{2 - 5i - 2}{5(1 + 4)} = \frac{-5i}{25} = -\frac{1}{5}i $$ --- ## 2 Используем равенство $i^2 = -1$, то есть $+b^2 = -(bi)^2$, и формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. При $a > 0$ имеем $a = (\sqrt{a})^2$. 1) Для выражения $a + 16$: $$ a + 16 = (\sqrt{a})^2 - (-16) = (\sqrt{a})^2 - (4i)^2 = (\sqrt{a} - 4i)(\sqrt{a} + 4i) $$ Ответ: $(\sqrt{a} - 4i)(\sqrt{a} + 4i)$. 2) Для выражения $a + 49$: $$ a + 49 = (\sqrt{a})^2 - (-49) = (\sqrt{a})^2 - (7i)^2 = (\sqrt{a} - 7i)(\sqrt{a} + 7i) $$ Ответ: $(\sqrt{a} - 7i)(\sqrt{a} + 7i)$. --- ## 3 ### Первый набор заданий **а)** Вычислим $(2 - 3i)^2 + (1 + i\sqrt{2})(1 - i\sqrt{2})$: 1. $(2 - 3i)^2 = 4 - 12i + 9i^2 = 4 - 12i - 9 = -5 - 12i$. 2. $(1 + i\sqrt{2})(1 - i\sqrt{2}) = 1^2 - (i\sqrt{2})^2 = 1 - 2i^2 = 1 + 2 = 3$. 3. Сложим результаты: $$ (-5 - 12i) + 3 = -2 - 12i $$ Ответ: $-2 - 12i$. **б)** Вычислим $\frac{8 + 6i}{(1 - i)^2} - 2i(2 - i)$: 1. $(1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$. 2. $\frac{8 + 6i}{-2i} = \frac{8}{-2i} + \frac{6i}{-2i} = -\frac{4}{i} - 3 = 4i - 3 = -3 + 4i$. 3. $2i(2 - i) = 4i - 2i^2 = 4i + 2 = 2 + 4i$. 4. Выполним вычитание: $$ (-3 + 4i) - (2 + 4i) = -3 + 4i - 2 - 4i = -5 $$ Ответ: $-5$. **в)** Вычислим $(2i)^6 + \frac{32}{i^{20}}$: 1. $(2i)^6 = 2^6 \cdot i^6 = 64 \cdot (i^2)^3 = 64 \cdot (-1)^3 = -64$. 2. $i^{20} = (i^4)^5 = 1^5 = 1 \implies \frac{32}{i^{20}} = \frac{32}{1} = 32$. 3. Сложим результаты: $$ -64 + 32 = -32 $$ Ответ: $-32$. --- ### Второй набор заданий **а)** Вычислим $(3 + 2i)^2 - (1 - i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3})$: 1. $(3 + 2i)^2 = 9 + 12i + 4i^2 = 9 + 12i - 4 = 5 + 12i$. 2. $(1 - i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3}) = 1^2 - (i\sqrt{3})^2 = 1 - 3i^2 = 1 + 3 = 4$. 3. Выполним вычитание: $$ (5 + 12i) - 4 = 1 + 12i $$ Ответ: $1 + 12i$. **б)** Вычислим $\frac{6 - 4i}{(1 + i)^2} + 3i(1 - 2i)$: 1. $(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$. 2. $\frac{6 - 4i}{2i} = \frac{3 - 2i}{i} = \frac{(3 - 2i)(-i)}{1} = -3i + 2i^2 = -2 - 3i$. 3. $3i(1 - 2i) = 3i - 6i^2 = 6 + 3i$. 4. Сложим результаты: $$ (-2 - 3i) + (6 + 3i) = 4 $$ Ответ: $4$. **в)** Вычислим $10i^{18} + \left(\frac{2}{i}\right)^4$: 1. $i^{18} = (i^2)^9 = (-1)^9 = -1 \implies 10i^{18} = -10$. 2. $\left(\frac{2}{i}\right)^4 = \frac{16}{i^4} = \frac{16}{1} = 16$. 3. Сложим результаты: $$ -10 + 16 = 6 $$ Ответ: $6$. --- ## 4 ### Первый набор уравнений **а)** $z^2 - 2z + 5 = 0$ Найдем дискриминант: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 = 16i^2 $$ Корни уравнения: $$ z_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{16i^2}}{2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i $$ Ответ: $z_1 = 1 - 2i$, $z_2 = 1 + 2i$. **б)** $(1 + i)z = 6 - 2i$ Выразим $z$: $$ z = \frac{6 - 2i}{1 + i} = \frac{(6 - 2i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{6 - 6i - 2i + 2i^2}{1 - i^2} = \frac{6 - 8i - 2}{1 + 1} = \frac{4 - 8i}{2} = 2 - 4i $$ Ответ: $z = 2 - 4i$. --- ### Второй набор уравнений **а)** $z^2 + 4z + 13 = 0$ Найдем дискриминант: $$ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36 = 36i^2 $$ Корни уравнения: $$ z_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36i^2}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i $$ Ответ: $z_1 = -2 - 3i$, $z_2 = -2 + 3i$. **б)** $(1 - i)z = 8 + 6i$ Выразим $z$: $$ z = \frac{8 + 6i}{1 - i} = \frac{(8 + 6i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{8 + 8i + 6i + 6i^2}{1 - i^2} = \frac{8 + 14i - 6}{1 + 1} = \frac{2 + 14i}{2} = 1 + 7i $$ Ответ: $z = 1 + 7i$. --- ## 5 ### Первое уравнение: $(5 + 3i)x + (2 - i)y = -1 - 5i$ Раскроем скобки в левой части: $$ 5x + 3xi + 2y - yi = -1 - 5i $$ Сгруппируем действительные и мнимые слагаемые: $$ (5x + 2y) + (3x - y)i = -1 - 5i $$ Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Получаем систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} 5x + 2y = -1 \\ 3x - y = -5 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$: $$ y = 3x + 5 $$ Подставим выражение для $y$ в первое уравнение: $$ 5x + 2(3x + 5) = -1 $$ $$ 5x + 6x + 10 = -1 $$ $$ 11x = -11 \implies x = -1 $$ Найдем значение $y$: $$ y = 3(-1) + 5 = 2 $$ Ответ: $x = -1$, $y = 2$. --- ### Второе уравнение: $(4 - 3i)x + (1 + 2i)y = 2 - 7i$ Раскроем скобки в левой части: $$ 4x - 3xi + y + 2yi = 2 - 7i $$ Сгруппируем действительные и мнимые слагаемые: $$ (4x + y) + (-3x + 2y)i = 2 - 7i $$ Приравняем действительные и мнимые части: $$ \begin{cases} 4x + y = 2 \\ -3x + 2y = -7 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $y$: $$ y = 2 - 4x $$ Подставим во второе уравнение: $$ -3x + 2(2 - 4x) = -7 $$ $$ -3x + 4 - 8x = -7 $$ $$ -11x = -11 \implies x = 1 $$ Найдем значение $y$: $$ y = 2 - 4(1) = -2 $$ Ответ: $x = 1$, $y = -2$.