ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-50. вариант - Б1

### 1. Найдите $f'(x_0)$, если: **а)** $f(x) = -x^{-\pi}$, $x_0 = 1$ Применим формулу производной степенной функции $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$: $$ f'(x) = -(-\pi) \cdot x^{-\pi - 1} = \pi x^{-\pi - 1} $$ Подставим значение точки $x_0 = 1$: $$ f'(1) = \pi \cdot 1^{-\pi - 1} = \pi \cdot 1 = \pi $$ Ответ: $\pi$. **б)** $f(x) = (16x)^{\frac{3}{4}}$, $x_0 = 16$ Преобразуем функцию, используя свойства степени: $$ f(x) = 16^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{3}{4}} = 2^3 \cdot x^{\frac{3}{4}} = 8x^{\frac{3}{4}} $$ Найдём производную: $$ f'(x) = 8 \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1} = 6x^{-\frac{1}{4}} = \frac{6}{\sqrt[4]{x}} $$ Вычислим значение производной при $x_0 = 16$: $$ f'(16) = \frac{6}{\sqrt[4]{16}} = \frac{6}{2} = 3 $$ Ответ: $3$. --- ### 2. б) Найдите $f'(x_0)$, если $f(x) = \left( \frac{x}{8} \right)^{-\frac{1}{3}}$, $x_0 = \frac{8}{27}$ Преобразуем выражение: $$ f(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{1}{3}} \cdot x^{-\frac{1}{3}} = (2^{-3})^{-\frac{1}{3}} \cdot x^{-\frac{1}{3}} = 2x^{-\frac{1}{3}} $$ Найдём производную: $$ f'(x) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) x^{-\frac{1}{3} - 1} = -\frac{2}{3} x^{-\frac{4}{3}} = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x^4}} $$ Вычислим значение в точке $x_0 = \frac{8}{27}$: $$ x_0^{\frac{4}{3}} = \left(\sqrt[3]{\frac{8}{27}}\right)^4 = \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81} $$ $$ f'\left(\frac{8}{27}\right) = -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{16}{81}} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{81}{16} = -\frac{27}{8} = -3\frac{3}{8} $$ Ответ: $-\frac{27}{8}$ (или $-3{,}375$). --- ### 3. Постройте схематически график функции: **а)** $y = x^{2\sin{\frac{\pi}{4}}}$ Упростим показатель степени: $$ 2\sin{\frac{\pi}{4}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $$ Таким образом, задана функция $y = x^{\sqrt{2}}$. 1. Показатель $\alpha = \sqrt{2} > 1$ (иррациональное число). 2. Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$. 3. Функция непрерывна, строго возрастает на всей области определения. 4. Характерные точки: $(0; 0)$ и $(1; 1)$. 5. Так как $\alpha > 1$, график направлен выпуклостью вниз (при $0 < x < 1$ график лежит ниже прямой $y = x$, а при $x > 1$ — выше прямой $y = x$). **б)** $y = x^{\ln{0,5}}$ Определим знак показателя степени: Так как $0 < 0{,}5 < 1$, то $\ln{0{,}5} = -\ln{2} \approx -0{,}693 < 0$. 1. Показатель $\alpha = \ln{0{,}5} < 0$. 2. Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$. 3. Функция непрерывна и строго убывает на промежутке $(0; +\infty)$. 4. Характерная точка: $(1; 1)$. 5. График имеет гиперболический вид, расположен в I координатной четверти; оси координат $Ox$ и $Oy$ являются его асимптотами: - при $x \to 0+$ значение $y \to +\infty$; - при $x \to +\infty$ значение $y \to 0+$. --- ### 4. Постройте схематически график функции: **а)** $y = x^{\sqrt{3}\cos{\frac{\pi}{6}}}$ Упростим показатель: $$ \sqrt{3}\cos{\frac{\pi}{6}} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} = 1{,}5 $$ Получаем функцию $y = x^{\frac{3}{2}} = \sqrt{x^3}$: 1. Показатель $\alpha = 1{,}5 > 1$. 2. Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$. 3. Функция строго возрастает на $[0; +\infty)$, проходит через точки $(0; 0)$ и $(1; 1)$. 4. График выпуклый вниз. **б)** $y = x^{\ln{2}}$ Определим величину показателя: Так как $1 < 2 < e$, то $0 < \ln{2} < 1$ ($\ln{2} \approx 0{,}693$). 1. Показатель степени удовлетворяет условию $0 < \alpha < 1$. 2. Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$. 3. Функция строго возрастает от $0$, проходит через точки $(0; 0)$ и $(1; 1)$. 4. Так как $0 < \alpha < 1$, график направлен выпуклостью вверх (при $0 < x < 1$ лежит выше прямой $y = x$, при $x > 1$ — ниже прямой $y = x$). --- ### 5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке: **1)** $f(x) = 2x - 3\sqrt[3]{x^2} = 2x - 3x^{\frac{2}{3}}$ на отрезке $[0; 8]$ *(в сборнике опечатка записи: $2x - 3x^3$)* 1. Найдём производную: $$ f'(x) = 2 - 3 \cdot \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} = 2 - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} $$ 2. Найдём критические точки: - $f'(x) = 0 \implies \frac{2}{\sqrt[3]{x}} = 2 \implies \sqrt[3]{x} = 1 \implies x = 1 \in [0; 8]$. - При $x = 0$ производная не существует (точка излома), но $x = 0$ — граничная точка. 3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: - $f(0) = 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 = 0$; - $f(1) = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} = 2 - 3 = -1$; - $f(8) = 2 \cdot 8 - 3 \cdot 8^{\frac{2}{3}} = 16 - 3 \cdot 4 = 16 - 12 = 4$. Следовательно: - $\min_{[0; 8]} f(x) = f(1) = -1$; - $\max_{[0; 8]} f(x) = f(8) = 4$. *(Примечание: если рассматривать буквальную запись многочлена $f(x) = 2x - 3x^3$, то $f'(x) = 2 - 9x^2 = 0 \implies x = \frac{\sqrt{2}}{3}$; тогда $\max_{[0; 8]} f(x) = f\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right) = \frac{4\sqrt{2}}{9}$, а $\min_{[0; 8]} f(x) = f(8) = 16 - 1536 = -1520$.)* Ответ: $\min_{[0; 8]} f(x) = -1$, $\max_{[0; 8]} f(x) = 4$. --- **2)** $f(x) = 4\sqrt[4]{x^3} - 3x = 4x^{\frac{3}{4}} - 3x$ на отрезке $[0; 16]$ *(в сборнике опечатка записи: $4x^4 - 3x$)* 1. Найдём производную: $$ f'(x) = 4 \cdot \frac{3}{4} x^{-\frac{1}{4}} - 3 = \frac{3}{\sqrt[4]{x}} - 3 $$ 2. Найдём критические точки: $$ f'(x) = 0 \implies \frac{3}{\sqrt[4]{x}} = 3 \implies \sqrt[4]{x} = 1 \implies x = 1 \in [0; 16] $$ 3. Вычислим значения функции в точках $x = 0, 1, 16$: - $f(0) = 0$; - $f(1) = 4 \cdot 1 - 3 \cdot 1 = 1$; - $f(16) = 4 \cdot 16^{\frac{3}{4}} - 3 \cdot 16 = 4 \cdot 8 - 48 = 32 - 48 = -16$. Следовательно: - $\max_{[0; 16]} f(x) = f(1) = 1$; - $\min_{[0; 16]} f(x) = f(16) = -16$. Ответ: $\min_{[0; 16]} f(x) = -16$, $\max_{[0; 16]} f(x) = 1$. --- ### 6. Вычислите интеграл: **а)** $\int_{1}^{\frac{27}{8}} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}$ Запишем подынтегральное выражение в виде степени $x^{-\frac{2}{3}}$: $$ \int_{1}^{\frac{27}{8}} x^{-\frac{2}{3}} dx = \left. \frac{x^{-\frac{2}{3} + 1}}{-\frac{2}{3} + 1} \right|_{1}^{\frac{27}{8}} = \left. 3\sqrt[3]{x} \right|_{1}^{\frac{27}{8}} $$ Применим формулу Ньютона — Лейбница: $$ 3\sqrt[3]{\frac{27}{8}} - 3\sqrt[3]{1} = 3 \cdot \frac{3}{2} - 3 = \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2} = 1{,}5 $$ Ответ: $1{,}5$. **б)** $\int_{1}^{9} \frac{dx}{\sqrt[4]{x^3}}$ Запишем подынтегральную функцию как $x^{-\frac{3}{4}}$: $$ \int_{1}^{9} x^{-\frac{3}{4}} dx = \left. \frac{x^{-\frac{3}{4} + 1}}{-\frac{3}{4} + 1} \right|_{1}^{9} = \left. 4\sqrt[4]{x} \right|_{1}^{9} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ 4\sqrt[4]{9} - 4\sqrt[4]{1} = 4\sqrt{3} - 4 = 4(\sqrt{3} - 1) $$ *(Примечание: для исходного табличного предела $16$ вместо $9$ значение интеграла равно $4\sqrt[4]{16} - 4 = 8 - 4 = 4$.)* Ответ: $4(\sqrt{3} - 1)$. **в)** $\int_{1}^{5} \sqrt{3x + 1}\,dx$ Воспользуемся формулой первообразной для линейного аргумента $\int (kx + b)^n dx = \frac{(kx + b)^{n+1}}{k(n+1)}$: $$ \int_{1}^{5} (3x + 1)^{\frac{1}{2}} dx = \left. \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x + 1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right|_{1}^{5} = \left. \frac{2}{9} \sqrt{(3x + 1)^3} \right|_{1}^{5} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ \frac{2}{9} \left( \sqrt{(3 \cdot 5 + 1)^3} - \sqrt{(3 \cdot 1 + 1)^3} \right) = \frac{2}{9} \left( \sqrt{16^3} - \sqrt{4^3} \right) = \frac{2}{9} (64 - 8) = \frac{2 \cdot 56}{9} = \frac{112}{9} = 12\frac{4}{9} $$ Ответ: $\frac{112}{9}$ (или $12\frac{4}{9}$). --- ### 7. Вычислите интеграл: $\int_{0}^{1} \sqrt[3]{7x + 1}\,dx$ Найдём первообразную функции $(7x + 1)^{\frac{1}{3}}$: $$ \int_{0}^{1} (7x + 1)^{\frac{1}{3}} dx = \left. \frac{1}{7} \cdot \frac{(7x + 1)^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} \right|_{0}^{1} = \left. \frac{3}{28} \sqrt[3]{(7x + 1)^4} \right|_{0}^{1} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ \frac{3}{28} \left( \sqrt[3]{(7 \cdot 1 + 1)^4} - \sqrt[3]{(7 \cdot 0 + 1)^4} \right) = \frac{3}{28} \left( \sqrt[3]{8^4} - \sqrt[3]{1^4} \right) = \frac{3}{28} (16 - 1) = \frac{3 \cdot 15}{28} = \frac{45}{28} = 1\frac{17}{28} $$ Ответ: $\frac{45}{28}$ (или $1\frac{17}{28}$). --- ### 8. Дана функция $f(x) = x^\alpha$ и положительные числа $a$ и $b$. Сравните $f(a)$ и $f(b)$, если: **1)** $a > b, \ 0 < \alpha < 1$ Так как показатель степени $\alpha > 0$, степенная функция $f(x) = x^\alpha$ является строго возрастающей на промежутке $(0; +\infty)$. По определению строго возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции: $$ a > b \implies f(a) > f(b) \quad (a^\alpha > b^\alpha) $$ Ответ: $f(a) > f(b)$. **2)** $a < b, \ \alpha < 0$ Так как показатель степени $\alpha < 0$, степенная функция $f(x) = x^\alpha$ является строго убывающей на промежутке $(0; +\infty)$. По определению строго убывающей функции меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции: $$ a < b \implies f(a) > f(b) \quad (a^\alpha > b^\alpha) $$ Ответ: $f(a) > f(b)$.