ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-46. вариант - В2

### 1. Закон движения тела По второму закону Ньютона ускорение тела равно: $$ a(t) = \frac{F(t)}{m} $$ Подставим $m = 2\text{ кг}$ и $F(t) = 12t - 8$: $$ a(t) = \frac{12t - 8}{2} = 6t - 4\text{ (м/с$^2$)} $$ Скорость $v(t)$ является первообразной для ускорения $a(t)$: $$ v(t) = \int a(t)\,dt = \int (6t - 4)\,dt = 3t^2 - 4t + C_1 $$ Найдем постоянную $C_1$, используя условие $v(3) = 10\text{ м/с}$: $$ 3 \cdot 3^2 - 4 \cdot 3 + C_1 = 10 $$ $$ 27 - 12 + C_1 = 10 \implies 15 + C_1 = 10 \implies C_1 = -5 $$ Таким образом, закон изменения скорости: $$ v(t) = 3t^2 - 4t - 5 $$ Координата $x(t)$ является первообразной для скорости $v(t)$: $$ x(t) = \int v(t)\,dt = \int (3t^2 - 4t - 5)\,dt = t^3 - 2t^2 - 5t + C_2 $$ Найдем постоянную $C_2$, используя условие $x(3) = 21\text{ м}$: $$ 3^3 - 2 \cdot 3^2 - 5 \cdot 3 + C_2 = 21 $$ $$ 27 - 18 - 15 + C_2 = 21 \implies -6 + C_2 = 21 \implies C_2 = 27 $$ **Ответ:** $x(t) = t^3 - 2t^2 - 5t + 27\text{ (м)}$. --- ### 2. Закон движения тела Найдем ускорение тела: $$ a(t) = \frac{F(t)}{m} = \frac{36 - 18t}{3} = 12 - 6t\text{ (м/с$^2$)} $$ Найдем скорость $v(t)$: $$ v(t) = \int a(t)\,dt = \int (12 - 6t)\,dt = 12t - 3t^2 + C_1 $$ Используем условие $v(2) = 14\text{ м/с}$: $$ 12 \cdot 2 - 3 \cdot 2^2 + C_1 = 14 $$ $$ 24 - 12 + C_1 = 14 \implies 12 + C_1 = 14 \implies C_1 = 2 $$ Следовательно: $$ v(t) = -3t^2 + 12t + 2 $$ Найдем закон движения $x(t)$: $$ x(t) = \int v(t)\,dt = \int (-3t^2 + 12t + 2)\,dt = -t^3 + 6t^2 + 2t + C_2 $$ Используем условие $x(2) = 20\text{ м}$: $$ -(2)^3 + 6 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + C_2 = 20 $$ $$ -8 + 24 + 4 + C_2 = 20 \implies 20 + C_2 = 20 \implies C_2 = 0 $$ **Ответ:** $x(t) = -t^3 + 6t^2 + 2t\text{ (м)}$. --- ### 3. Вычисление объема тела Сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси $Oz$ при фиксированном $z$, представляет собой круг, задаваемый уравнением $x^2 + y^2 \le R^2(z)$. Площадь такого сечения равна: $$ S(z) = \pi R^2(z) = \pi (x^2 + y^2) $$ Объем тела вычисляется по формуле: $$ V = \int_{a}^{b} S(z)\,dz $$ **Случай 1:** Поверхность $x^2 + y^2 = 3z^2 + 1$, плоскости $z = -1$ и $z = 1$. Площадь поперечного сечения: $S(z) = \pi(3z^2 + 1)$. $$ V = \int_{-1}^{1} \pi(3z^2 + 1)\,dz = \pi \left[ z^3 + z \right]_{-1}^{1} = \pi \Big( (1 + 1) - (-1 - 1) \Big) = \pi (2 - (-2)) = 4\pi $$ **Случай 2:** Поверхность $x^2 + y^2 = 1 + 6z^2$, плоскости $z = 0$ и $z = 1$. Площадь поперечного сечения: $S(z) = \pi(1 + 6z^2)$. $$ V = \int_{0}^{1} \pi(1 + 6z^2)\,dz = \pi \left[ z + 2z^3 \right]_0^1 = \pi (1 + 2 - 0) = 3\pi $$ **Ответ:** 1) $V = 4\pi$; 2) $V = 3\pi$. --- ### 4. Работа по выкачиванию воды из резервуара Направим ось $Ox$ вертикально вниз, поместив начало координат $x = 0$ на верхний край резервуара. Рассмотрим горизонтальный слой воды толщиной $dx$, находящийся на глубине $x$. - Объем этого слоя: $dV = S(x)\,dx$, где $S(x)$ — площадь горизонтального сечения. - Масса слоя: $dm = \rho \, dV = \rho S(x)\,dx$, где $\rho = 1000\text{ кг/м}^3$ — плотность воды. - Сила тяжести, действующая на слой: $dF = dm \cdot g = \rho g S(x)\,dx$. - Чтобы выкачать этот слой воды на уровень верхнего края, его нужно поднять на высоту $x$. Элементарная работа: $$ dA = x \cdot dF = \rho g S(x) x\,dx $$ Полная работа по выкачиванию воды со всей глубины $H$: $$ A = \int_{0}^{H} \rho g S(x) x\,dx $$ **Случай 1:** Резервуар цилиндрической формы с радиусом $R = 1\text{ м}$ и глубиной $H = 4\text{ м}$. Сечение постоянно: $S(x) = \pi R^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi\text{ м}^2$. $$ A = \rho g \pi \int_{0}^{4} x\,dx = \rho g \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4 = \rho g \pi \cdot \frac{16}{2} = 8\pi \rho g $$ При $\rho = 1000\text{ кг/м}^3$ и $g \approx 9{,}8\text{ м/с}^2$: $$ A = 8\pi \cdot 1000 \cdot 9{,}8 = 78\,400\pi\text{ Дж} \approx 246{,}3\text{ кДж} $$ *(если принять $g = 10\text{ м/с}^2$, то $A = 80\,000\pi\text{ Дж} = 80\pi\text{ кДж}$)*. **Случай 2:** Резервуар с квадратным сечением со стороной $a = 1\text{ м}$ и глубиной $H = 2\text{ м}$. Сечение постоянно: $S(x) = a^2 = 1^2 = 1\text{ м}^2$. $$ A = \rho g \int_{0}^{2} 1 \cdot x\,dx = \rho g \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \rho g \cdot \frac{4}{2} = 2\rho g $$ При $\rho = 1000\text{ кг/м}^3$ и $g \approx 9{,}8\text{ м/с}^2$: $$ A = 2 \cdot 1000 \cdot 9{,}8 = 19\,600\text{ Дж} = 19{,}6\text{ кДж} $$ *(если принять $g = 10\text{ м/с}^2$, то $A = 20\,000\text{ Дж} = 20\text{ кДж}$)*. **Ответ:** 1) $8\pi \rho g \approx 78{,}4\pi\text{ кДж}$; 2) $2\rho g \approx 19{,}6\text{ кДж}$. --- ### 5. Вывод формулы объема пирамиды с помощью определенного интеграла Рассмотрим пирамиду с высотой $H$ и площадью основания $S$. 1. Введем ось $Ox$, направленную от вершины пирамиды к ее основанию перпендикулярно плоскости основания. Начало отсчета $x = 0$ поместим в вершину пирамиды. Тогда плоскость основания соответствует координате $x = H$. 2. Проведем сечение пирамиды плоскостью, перпендикулярной оси $Ox$ и находящейся на расстоянии $x$ от вершины ($0 \le x \le H$). 3. Сечение представляет собой многоугольник, подобный многоугольнику основания. Линейные размеры сечения относятся к линейным размерам основания как расстояния от вершины, то есть с коэффициентом подобия: $$ k = \frac{x}{H} $$ 4. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: $$ \frac{S(x)}{S} = k^2 = \left(\frac{x}{H}\right)^2 \implies S(x) = \frac{S}{H^2} x^2 $$ 5. Объем пирамиды равен определенному интегралу от площади поперечного сечения по высоте: $$ V = \int_{0}^{H} S(x)\,dx = \int_{0}^{H} \frac{S}{H^2} x^2\,dx = \frac{S}{H^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^H = \frac{S}{H^2} \cdot \left(\frac{H^3}{3} - 0\right) = \frac{1}{3} S H $$ Формула доказана: $V = \frac{1}{3} S H$.