ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-46. вариант - А2

### 1 Скорость движения точки является производной координаты по времени: $v(t) = x'(t)$. Следовательно, закон движения $x(t)$ находится как первообразная скорости: $$ x(t) = \int v(t) \, dt = \int (6t^2 - 4t - 1) \, dt = 2t^3 - 2t^2 - t + C $$ По условию, в момент времени $t = 1$ с координата точки равна $4$ м ($x(1) = 4$): $$ 2 \cdot 1^3 - 2 \cdot 1^2 - 1 + C = 4 $$ $$ 2 - 2 - 1 + C = 4 $$ $$ -1 + C = 4 \implies C = 5 $$ Таким образом, закон движения точки имеет вид: $$ x(t) = 2t^3 - 2t^2 - t + 5 $$ **Ответ:** $x(t) = 2t^3 - 2t^2 - t + 5$ (м). --- ### 2 Объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции $y = f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x = a$, $x = b$, вычисляется по формуле: $$ V = \pi \int_a^b y^2 \, dx $$ **Случай 1:** линии $y = 2\sqrt{x}$, $x = 4$, $y = 0$. Найдем нижний предел интегрирования из пересечения графика с осью $Ox$ ($y = 0$): $$ 2\sqrt{x} = 0 \implies x = 0 $$ Пределы интегрирования: от $a = 0$ до $b = 4$. Вычислим объем: $$ V = \pi \int_0^4 (2\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^4 4x \, dx = \pi \left[ 2x^2 \right]_0^4 = \pi (2 \cdot 4^2 - 0) = 32\pi $$ **Случай 2:** линии $y = \sqrt{x}$, $x = 9$, $y = 0$. Найдем нижний предел интегрирования из пересечения графика с осью $Ox$ ($y = 0$): $$ \sqrt{x} = 0 \implies x = 0 $$ Пределы интегрирования: от $a = 0$ до $b = 9$. Вычислим объем: $$ V = \pi \int_0^9 (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^9 x \, dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^9 = \pi \left( \frac{9^2}{2} - 0 \right) = \frac{81}{2}\pi = 40{,}5\pi $$ **Ответ:** - для первого случая: $32\pi$ куб. ед. - для второго случая: $40{,}5\pi$ куб. ед. --- ### 3 По закону Гука сила упругости, необходимая для растяжения пружины на величину $x$, пропорциональна удлинению: $F(x) = kx$, где $k$ — жесткость пружины. Работа силы при растяжении пружины от ненагруженного состояния ($x = 0$) до удлинения $x_0$ вычисляется с помощью определенного интеграла: $$ A = \int_0^{x_0} F(x) \, dx = \int_0^{x_0} kx \, dx = \left[ \frac{kx^2}{2} \right]_0^{x_0} = \frac{kx_0^2}{2} $$ **Случай 1:** растяжение пружины на $2$ см, если сила $2$ Н растягивает ее на $4$ см. Переведем величины в систему СИ: - $F = 2$ Н при $x = 4\text{ см} = 0{,}04$ м; - конечное удлинение $x_0 = 2\text{ см} = 0{,}02$ м. Найдем коэффициент жесткости $k$: $$ k = \frac{F}{x} = \frac{2}{0{,}04} = 50\text{ Н/м} $$ Вычислим работу: $$ A = \frac{50 \cdot (0{,}02)^2}{2} = 25 \cdot 0{,}0004 = 0{,}01\text{ Дж} $$ **Случай 2:** растяжение пружины на $5$ см, если сила $4$ Н растягивает ее на $10$ см. Переведем величины в систему СИ: - $F = 4$ Н при $x = 10\text{ см} = 0{,}1$ м; - конечное удлинение $x_0 = 5\text{ см} = 0{,}05$ м. Найдем коэффициент жесткости $k$: $$ k = \frac{F}{x} = \frac{4}{0{,}1} = 40\text{ Н/м} $$ Вычислим работу: $$ A = \frac{40 \cdot (0{,}05)^2}{2} = 20 \cdot 0{,}0025 = 0{,}05\text{ Дж} $$ **Ответ:** - для первого случая: $0{,}01$ Дж; - для второго случая: $0{,}05$ Дж. --- ### 4 **Доказательство:** Рассмотрим на координатной плоскости $xOy$ прямоугольник, ограниченный линиями: $$ y = R, \quad y = 0, \quad x = 0, \quad x = H $$ где $R > 0$ — радиус основания цилиндра, а $H > 0$ — его высота. При вращении этого прямоугольника вокруг оси абсцисс $Ox$ образуется прямой круговой цилиндр с радиусом основания $R$ и высотой $H$. Объем тела вращения вокруг оси $Ox$ находится по формуле: $$ V = \pi \int_a^b y^2 \, dx $$ В данном случае $y = R$, а пределы интегрирования равны $a = 0$ и $b = H$. Подставим эти значения в формулу: $$ V = \pi \int_0^H R^2 \, dx $$ Так как $R$ — постоянная величина, вынесем $R^2$ за знак интеграла: $$ V = \pi R^2 \int_0^H dx = \pi R^2 \left[ x \right]_0^H = \pi R^2 (H - 0) = \pi R^2 H $$ Формула объема цилиндра $V = \pi R^2 H$ доказана.