ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-45. вариант - Б2

### Вариант Б1 #### 1. Вычислите интеграл: **а)** $\int_{1}^{2} \left( 4x + 3 - \frac{4}{x^2} \right) dx$ Найдем первообразную подынтегральной функции: $$ F(x) = 2x^2 + 3x + \frac{4}{x} $$ По формуле Ньютона — Лейбница: $$ \int_{1}^{2} \left( 4x + 3 - \frac{4}{x^2} \right) dx = \left. \left( 2x^2 + 3x + \frac{4}{x} \right) \right|_{1}^{2} $$ $$ = \left( 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 + \frac{4}{2} \right) - \left( 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + \frac{4}{1} \right) = (8 + 6 + 2) - (2 + 3 + 4) = 16 - 9 = 7 $$ Ответ: $7$. --- **б)** $\int_{1}^{4} \left( \frac{\sqrt{x}}{x} + 8(2x - 5)^3 \right) dx$ Преобразуем первое слагаемое: $\frac{\sqrt{x}}{x} = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Найдем первообразную: $$ F(x) = 2\sqrt{x} + 8 \cdot \frac{(2x - 5)^4}{4 \cdot 2} = 2\sqrt{x} + (2x - 5)^4 $$ Вычислим определенный интеграл: $$ \int_{1}^{4} \left( \frac{\sqrt{x}}{x} + 8(2x - 5)^3 \right) dx = \left. \left( 2\sqrt{x} + (2x - 5)^4 \right) \right|_{1}^{4} $$ $$ = \left( 2\sqrt{4} + (2 \cdot 4 - 5)^4 \right) - \left( 2\sqrt{1} + (2 \cdot 1 - 5)^4 \right) = (4 + 3^4) - (2 + (-3)^4) = (4 + 81) - (2 + 81) = 85 - 83 = 2 $$ Ответ: $2$. --- **в)** $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{1 - \sin^2 x}$ Используем основное тригонометрическое тождество $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$: $$ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x} = \left. \operatorname{tg} x \right|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) - \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 1 - (-1) = 2 $$ Ответ: $2$. --- **г)** $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin 2x + \cos 2x)^2 dx$ Раскроем квадрат двучлена: $$ (\sin 2x + \cos 2x)^2 = \sin^2 2x + 2\sin 2x \cos 2x + \cos^2 2x = 1 + \sin 4x $$ Интегрируем полученное выражение: $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \sin 4x) dx = \left. \left( x - \frac{1}{4}\cos 4x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} $$ $$ = \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\cos(2\pi) \right) - \left( 0 - \frac{1}{4}\cos 0 \right) = \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4} \right) - \left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{\pi}{2} $$ Ответ: $\frac{\pi}{2}$. --- #### 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: $y = x^2 - 4x + 4$, $y = 4 - x$. 1. Найдем абсциссы точек пересечения графиков: $$ x^2 - 4x + 4 = 4 - x $$ $$ x^2 - 3x = 0 \implies x(x - 3) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 3 $$ 2. На интервале $(0; 3)$ прямая $y = 4 - x$ лежит выше параболы $y = x^2 - 4x + 4$. 3. Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{0}^{3} \left( (4 - x) - (x^2 - 4x + 4) \right) dx = \int_{0}^{3} (3x - x^2) dx = \left. \left( \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{3} $$ $$ = \left( \frac{3 \cdot 9}{2} - \frac{27}{3} \right) - 0 = \frac{27}{2} - 9 = 13{,}5 - 9 = 4{,}5 $$ Ответ: $4{,}5$. --- --- ### Вариант Б2 #### 1. Вычислите интеграл: **а)** $\int_{1}^{2} \left( \frac{6}{x^3} + 9x^2 - 5 \right) dx$ Запишем $\frac{6}{x^3}$ как $6x^{-3}$ и найдем первообразную: $$ F(x) = 6 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + 9 \cdot \frac{x^3}{3} - 5x = -\frac{3}{x^2} + 3x^3 - 5x $$ Применим формулу Ньютона — Лейбница: $$ \int_{1}^{2} \left( \frac{6}{x^3} + 9x^2 - 5 \right) dx = \left. \left( -\frac{3}{x^2} + 3x^3 - 5x \right) \right|_{1}^{2} $$ $$ = \left( -\frac{3}{4} + 3 \cdot 8 - 5 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{3}{1} + 3 \cdot 1 - 5 \cdot 1 \right) $$ $$ = \left( -\frac{3}{4} + 24 - 10 \right) - (-3 + 3 - 5) = 13\frac{1}{4} - (-5) = 18\frac{1}{4} = 18{,}25 $$ Ответ: $18{,}25$ (или $18\frac{1}{4}$). --- **б)** $\int_{4}^{16} \left( \frac{(\sqrt{x})^3}{x^2} + \left( \frac{x}{4} - 3 \right)^3 \right) dx$ Преобразуем первое слагаемое: $\frac{(\sqrt{x})^3}{x^2} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x^2} = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Первообразная: $$ F(x) = 2\sqrt{x} + \frac{\left(\frac{x}{4} - 3\right)^4}{4 \cdot \frac{1}{4}} = 2\sqrt{x} + \left( \frac{x}{4} - 3 \right)^4 $$ Вычислим интеграл: $$ \int_{4}^{16} \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \left( \frac{x}{4} - 3 \right)^3 \right) dx = \left. \left( 2\sqrt{x} + \left( \frac{x}{4} - 3 \right)^4 \right) \right|_{4}^{16} $$ $$ = \left( 2\sqrt{16} + \left(\frac{16}{4} - 3\right)^4 \right) - \left( 2\sqrt{4} + \left(\frac{4}{4} - 3\right)^4 \right) $$ $$ = (2 \cdot 4 + (4 - 3)^4) - (2 \cdot 2 + (1 - 3)^4) = (8 + 1^4) - (4 + (-2)^4) = 9 - 20 = -11 $$ Ответ: $-11$. --- **в)** $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{dx}{1 - \cos^2 x}$ Так как $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$: $$ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{dx}{\sin^2 x} = \left. (-\operatorname{ctg} x) \right|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} = -\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{4}\right) - \left(-\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2 $$ Ответ: $2$. --- **г)** $\int_{0}^{2\pi} \left( \cos \frac{x}{8} - \sin \frac{x}{8} \right)^2 dx$ Раскрываем квадрат двучлена: $$ \left( \cos \frac{x}{8} - \sin \frac{x}{8} \right)^2 = \cos^2 \frac{x}{8} - 2\sin \frac{x}{8}\cos \frac{x}{8} + \sin^2 \frac{x}{8} = 1 - \sin \frac{x}{4} $$ Интегрируем: $$ \int_{0}^{2\pi} \left( 1 - \sin \frac{x}{4} \right) dx = \left. \left( x + 4\cos \frac{x}{4} \right) \right|_{0}^{2\pi} $$ $$ = \left( 2\pi + 4\cos\left(\frac{2\pi}{8}\right) \right) - \left( 0 + 4\cos 0 \right) = \left( 2\pi + 4\cos\frac{\pi}{4} \right) - 4 $$ $$ = 2\pi + 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 = 2\pi + 2\sqrt{2} - 4 $$ Ответ: $2\pi + 2\sqrt{2} - 4$. --- #### 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: $y = x^2 + 4x + 4$, $y = x + 4$. 1. Найдем пределы интегрирования из точек пересечения: $$ x^2 + 4x + 4 = x + 4 $$ $$ x^2 + 3x = 0 \implies x(x + 3) = 0 \implies x_1 = -3, \quad x_2 = 0 $$ 2. На отрезке $[-3; 0]$ прямая $y = x + 4$ расположена выше параболы $y = x^2 + 4x + 4$. 3. Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{-3}^{0} \left( (x + 4) - (x^2 + 4x + 4) \right) dx = \int_{-3}^{0} (-x^2 - 3x) dx = \left. \left( -\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} \right) \right|_{-3}^{0} $$ $$ = 0 - \left( -\frac{(-3)^3}{3} - \frac{3(-3)^2}{2} \right) = -\left( \frac{27}{3} - \frac{27}{2} \right) = -\left( 9 - 13{,}5 \right) = -(-4{,}5) = 4{,}5 $$ Ответ: $4{,}5$.