ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-39. вариант - Б1

### 1. Критические точки функции Критическими точками функции называются внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует. Каждая из данных функций определена и дифференцируема на всей числовой прямой $\mathbb{R}$, поэтому критические точки находим из уравнения $f'(x) = 0$. **a)** $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 7$ $D(f) = \mathbb{R}$. Найдем производную: $$ f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x $$ Приравняем производную к нулю: $$ 12x(x^2 - x - 2) = 0 $$ $$ 12x(x - 2)(x + 1) = 0 $$ Отсюда получаем корни: $$ x_1 = -1, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 2 $$ Ответ: $-1; \, 0; \, 2$. --- **b)** $f(x) = x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 1$ $D(f) = \mathbb{R}$. Найдем производную: $$ f'(x) = 4x^3 + 12x^2 + 8x $$ Приравняем производную к нулю: $$ 4x(x^2 + 3x + 2) = 0 $$ $$ 4x(x + 1)(x + 2) = 0 $$ Отсюда получаем корни: $$ x_1 = -2, \quad x_2 = -1, \quad x_3 = 0 $$ Ответ: $-2; \, -1; \, 0$. --- **c)** $f(x) = \cos 2x - \sqrt{3}x + \frac{\pi}{4}$ $D(f) = \mathbb{R}$. Найдем производную: $$ f'(x) = -2\sin 2x - \sqrt{3} $$ Приравняем производную к нулю: $$ -2\sin 2x - \sqrt{3} = 0 \iff \sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$ Решим тригонометрическое уравнение: $$ 2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ 2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $-\frac{\pi}{6} + \pi k; \; -\frac{\pi}{3} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. --- **d)** $f(x) = \sin \frac{x}{2} + \frac{x}{2\sqrt{2}} - \pi$ $D(f) = \mathbb{R}$. Найдем производную: $$ f'(x) = \frac{1}{2}\cos \frac{x}{2} + \frac{1}{2\sqrt{2}} $$ Приравняем производную к нулю: $$ \frac{1}{2}\cos \frac{x}{2} + \frac{1}{2\sqrt{2}} = 0 \iff \cos \frac{x}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ Решим тригонометрическое уравнение: $$ \frac{x}{2} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pm \frac{3\pi}{2} + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $\pm \frac{3\pi}{2} + 4\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. --- ### 2. Промежутки монотонности функции **а)** $f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x + 4}$ 1. Область определения функции: знаменатель не равен нулю, то есть $x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4$. $D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$. 2. Найдем производную по правилу дифференцирования дроби: $$ f'(x) = \frac{(x^2 + 3x)'(x + 4) - (x^2 + 3x)(x + 4)'}{(x + 4)^2} = \frac{(2x + 3)(x + 4) - (x^2 + 3x)\cdot 1}{(x + 4)^2} $$ $$ f'(x) = \frac{2x^2 + 11x + 12 - x^2 - 3x}{(x + 4)^2} = \frac{x^2 + 8x + 12}{(x + 4)^2} = \frac{(x + 6)(x + 2)}{(x + 4)^2} $$ 3. Критические точки: числитель равен нулю при $x = -6$ и $x = -2$. Производная не существует в точке $x = -4$ (точка разрыва). 4. Определим знак производной на интервалах методом интервалов: - на $(-\infty; -6)$: $f'(x) > 0 \implies$ функция возрастает; - на $(-6; -4)$: $f'(x) < 0 \implies$ функция убывает; - на $(-4; -2)$: $f'(x) < 0 \implies$ функция убывает; - на $(-2; +\infty)$: $f'(x) > 0 \implies$ функция возрастает. Ответ: функция возрастает на $(-\infty; -6]$ и на $[-2; +\infty)$; убывает на $[-6; -4)$ и на $(-4; -2]$. --- **б)** $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x - 4}$ 1. Область определения: $x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$. $D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$. 2. Найдем производную: $$ f'(x) = \frac{(x^2 - 3x)'(x - 4) - (x^2 - 3x)(x - 4)'}{(x - 4)^2} = \frac{(2x - 3)(x - 4) - (x^2 - 3x)\cdot 1}{(x - 4)^2} $$ $$ f'(x) = \frac{2x^2 - 11x + 12 - x^2 + 3x}{(x - 4)^2} = \frac{x^2 - 8x + 12}{(x - 4)^2} = \frac{(x - 2)(x - 6)}{(x - 4)^2} $$ 3. Критические точки: $x = 2$ и $x = 6$. В точке $x = 4$ функция не определена. 4. Знаки производной на интервалах: - на $(-\infty; 2)$: $f'(x) > 0 \implies$ функция возрастает; - на $(2; 4)$: $f'(x) < 0 \implies$ функция убывает; - на $(4; 6)$: $f'(x) < 0 \implies$ функция убывает; - на $(6; +\infty)$: $f'(x) > 0 \implies$ функция возрастает. Ответ: функция возрастает на $(-\infty; 2]$ и на $[6; +\infty)$; убывает на $[2; 4)$ и на $(4; 6]$. --- ### 3. Точки экстремума функции **а)** $f(x) = (x + 1)^2(x + 5)^2$ $D(f) = \mathbb{R}$. Найдем производную по формуле производной произведения: $$ f'(x) = 2(x + 1)(x + 5)^2 + (x + 1)^2 \cdot 2(x + 5) = 2(x + 1)(x + 5)\bigl((x + 5) + (x + 1)\bigr) $$ $$ f'(x) = 2(x + 1)(x + 5)(2x + 6) = 4(x + 1)(x + 3)(x + 5) $$ Стационарные точки: $x = -5, \, x = -3, \, x = -1$. Определим знаки $f'(x)$ на числовой оси: - при $x \in (-\infty; -5)$: $f'(x) < 0$; - при $x \in (-5; -3)$: $f'(x) > 0$; - при $x \in (-3; -1)$: $f'(x) < 0$; - при $x \in (-1; +\infty)$: $f'(x) > 0$. Характер точек: - в точке $x = -5$ знак $f'(x)$ меняется с «$-$» на «$+$» $\implies x_{\min} = -5$; - в точке $x = -3$ знак $f'(x)$ меняется с «$+$» на «$-$» $\implies x_{\max} = -3$; - в точке $x = -1$ знак $f'(x)$ меняется с «$-$» на «$+$» $\implies x_{\min} = -1$. Ответ: точки минимума: $x = -5$ и $x = -1$; точка максимума: $x = -3$. --- **б)** $f(x) = (x + 3)^2(x - 5)^2$ $D(f) = \mathbb{R}$. Найдем производную: $$ f'(x) = 2(x + 3)(x - 5)^2 + (x + 3)^2 \cdot 2(x - 5) = 2(x + 3)(x - 5)\bigl((x - 5) + (x + 3)\bigr) $$ $$ f'(x) = 2(x + 3)(x - 5)(2x - 2) = 4(x + 3)(x - 1)(x - 5) $$ Стационарные точки: $x = -3, \, x = 1, \, x = 5$. Определим знаки $f'(x)$ на интервалах: - при $x \in (-\infty; -3)$: $f'(x) < 0$; - при $x \in (-3; 1)$: $f'(x) > 0$; - при $x \in (1; 5)$: $f'(x) < 0$; - при $x \in (5; +\infty)$: $f'(x) > 0$. Характер точек: - в точке $x = -3$ знак $f'(x)$ меняется с «$-$» на «$+$» $\implies x_{\min} = -3$; - в точке $x = 1$ знак $f'(x)$ меняется с «$+$» на «$-$» $\implies x_{\max} = 1$; - в точке $x = 5$ знак $f'(x)$ меняется с «$-$» на «$+$» $\implies x_{\min} = 5$. Ответ: точки минимума: $x = -3$ и $x = 5$; точка максимума: $x = 1$. --- ### 4. Доказательство монотонности функции на $\mathbb{R}$ **а)** $g(x) = 4x + \sin^2 x$ Функция определена и дифференцируема при всех $x \in \mathbb{R}$. Найдем ее производную: $$ g'(x) = (4x)' + (\sin^2 x)' = 4 + 2\sin x \cos x = 4 + \sin 2x $$ Так как для любого $x \in \mathbb{R}$ справедливо неравенство $-1 \le \sin 2x \le 1$, то: $$ g'(x) = 4 + \sin 2x \ge 4 + (-1) = 3 > 0 $$ Поскольку производная $g'(x) > 0$ на всей области определения, функция $g(x)$ строго возрастает на множестве $\mathbb{R}$. Ответ: функция является возрастающей. --- **б)** $g(x) = \cos^2 x - 3x$ Функция определена и дифференцируема при всех $x \in \mathbb{R}$. Найдем ее производную: $$ g'(x) = (\cos^2 x)' - (3x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) - 3 = -\sin 2x - 3 $$ Так как для любого $x \in \mathbb{R}$ справедливо неравенство $-1 \le \sin 2x \le 1$, то: $$ g'(x) = -\sin 2x - 3 \le 1 - 3 = -2 < 0 $$ Поскольку производная $g'(x) < 0$ на всей области определения, функция $g(x)$ строго убывает на множестве $\mathbb{R}$. Ответ: функция является убывающей.