ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-36. вариант - Б1

### 1. По определению производная функции в точке $x_0$ равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при $\Delta x \to 0$: $$ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} $$ **а)** $f(x) = \frac{x^2}{4} - x$, $x_0 = 2$ 1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = 2$: $$ f(2) = \frac{2^2}{4} - 2 = 1 - 2 = -1 $$ 2. Найдем приращение функции $\Delta f$: $$ f(2 + \Delta x) = \frac{(2 + \Delta x)^2}{4} - (2 + \Delta x) = \frac{4 + 4\Delta x + (\Delta x)^2}{4} - 2 - \Delta x = 1 + \Delta x + \frac{(\Delta x)^2}{4} - 2 - \Delta x = -1 + \frac{(\Delta x)^2}{4} $$ $$ \Delta f = f(2 + \Delta x) - f(2) = -1 + \frac{(\Delta x)^2}{4} - (-1) = \frac{(\Delta x)^2}{4} $$ 3. Составим разностное отношение и найдем его предел при $\Delta x \to 0$: $$ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\frac{(\Delta x)^2}{4}}{\Delta x} = \frac{\Delta x}{4} $$ $$ f'(2) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{4} = 0 $$ Ответ: $f'(2) = 0$. **б)** $f(x) = \frac{2}{x} + 1$, $x_0 = -1$ 1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = -1$: $$ f(-1) = \frac{2}{-1} + 1 = -2 + 1 = -1 $$ 2. Найдем приращение функции $\Delta f$: $$ f(-1 + \Delta x) = \frac{2}{-1 + \Delta x} + 1 $$ $$ \Delta f = f(-1 + \Delta x) - f(-1) = \frac{2}{-1 + \Delta x} + 1 - (-1) = \frac{2}{\Delta x - 1} + 2 = \frac{2 + 2(\Delta x - 1)}{\Delta x - 1} = \frac{2\Delta x}{\Delta x - 1} $$ 3. Составим разностное отношение и найдем его предел при $\Delta x \to 0$: $$ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2\Delta x}{\Delta x(\Delta x - 1)} = \frac{2}{\Delta x - 1} $$ $$ f'(-1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2}{\Delta x - 1} = \frac{2}{0 - 1} = -2 $$ Ответ: $f'(-1) = -2$. --- ### 2. **а)** $f(x) = x\sqrt{x} - 8x^3$ Представим первое слагаемое в виде степени: $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$. $$ f(x) = x^{\frac{3}{2}} - 8x^3 $$ Применим правила дифференцирования $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ и $(c \cdot u)' = c \cdot u'$: $$ f'(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2} - 1} - 8 \cdot 3x^2 = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 24x^2 = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 24x^2 $$ Ответ: $f'(x) = 1{,}5\sqrt{x} - 24x^2$. **б)** $f(x) = \left(3 - \frac{4}{x^4}\right)(x^2 + 1)$ Раскроем скобки перед дифференцированием: $$ f(x) = 3(x^2 + 1) - \frac{4}{x^4}(x^2 + 1) = 3x^2 + 3 - \frac{4}{x^2} - \frac{4}{x^4} = 3x^2 + 3 - 4x^{-2} - 4x^{-4} $$ Находим производную: $$ f'(x) = (3x^2)' + (3)' - 4(x^{-2})' - 4(x^{-4})' = 6x + 0 - 4 \cdot (-2)x^{-3} - 4 \cdot (-4)x^{-5} = 6x + \frac{8}{x^3} + \frac{16}{x^5} $$ Ответ: $f'(x) = 6x + \frac{8}{x^3} + \frac{16}{x^5}$. --- ### 3. **а)** $f'(x) = f'(-2)$, если $f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x + 4}$ Область определения функции: $x \neq -4$. 1. Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного: $$ f'(x) = \frac{(x^2 + 3x)'(x + 4) - (x^2 + 3x)(x + 4)'}{(x + 4)^2} = \frac{(2x + 3)(x + 4) - (x^2 + 3x) \cdot 1}{(x + 4)^2} $$ $$ f'(x) = \frac{2x^2 + 8x + 3x + 12 - x^2 - 3x}{(x + 4)^2} = \frac{x^2 + 8x + 12}{(x + 4)^2} $$ 2. Вычислим $f'(-2)$: $$ f'(-2) = \frac{(-2)^2 + 8 \cdot (-2) + 12}{(-2 + 4)^2} = \frac{4 - 16 + 12}{2^2} = \frac{0}{4} = 0 $$ 3. Составим и решим уравнение: $$ \frac{x^2 + 8x + 12}{(x + 4)^2} = 0 $$ Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля: $$ \begin{cases} x^2 + 8x + 12 = 0, \\ x + 4 \neq 0 \end{cases} $$ По теореме Виета для уравнения $x^2 + 8x + 12 = 0$: $$ x_1 = -2, \quad x_2 = -6 $$ Оба корня удовлетворяют условию $x \neq -4$. Ответ: $-6;\; -2$. **б)** $f'(x) = f(x) - 2x$, если $f(x) = 2x + \frac{1}{x}$ Область определения функции: $x \neq 0$. 1. Найдем производную: $$ f'(x) = (2x)' + \left(\frac{1}{x}\right)' = 2 - \frac{1}{x^2} $$ 2. Преобразуем правую часть уравнения: $$ f(x) - 2x = 2x + \frac{1}{x} - 2x = \frac{1}{x} $$ 3. Составим уравнение: $$ 2 - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x} $$ Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю: $$ \frac{2x^2 - x - 1}{x^2} = 0 $$ При $x \neq 0$: $$ 2x^2 - x - 1 = 0 $$ $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 $$ $$ x_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1, \quad x_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} = -0{,}5 $$ Оба значения не равны нулю и входят в область определения. Ответ: $-0{,}5;\; 1$. --- ### 4. **а)** $f(x) \cdot f'(x) \geq 0$, если $f(x) = x^2 - 2x - 3$ 1. Найдем производную: $$ f'(x) = 2x - 2 = 2(x - 1) $$ 2. Разложим функцию $f(x)$ на множители: $$ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) $$ 3. Составим неравенство: $$ (x^2 - 2x - 3)(2x - 2) \geq 0 \iff 2(x + 1)(x - 1)(x - 3) \geq 0 \iff (x + 1)(x - 1)(x - 3) \geq 0 $$ 4. Решим неравенство методом интервалов. Отметим нули выражения на числовой прямой: $x = -1$, $x = 1$, $x = 3$. Знаки выражения на промежутках: - при $x \in (3; +\infty)$: $+$ - при $x \in (1; 3)$: $-$ - при $x \in (-1; 1)$: $+$ - при $x \in (-\infty; -1)$: $-$ С учетом знака $\geq 0$, включаем граничные точки. Ответ: $[-1; 1] \cup [3; +\infty)$. **б)** $f(x) \cdot f'(x) \geq 0$, если $f(x) = \frac{2 - x}{x + 3}$ Область определения функции: $x \neq -3$. 1. Найдем производную: $$ f'(x) = \frac{(2 - x)'(x + 3) - (2 - x)(x + 3)'}{(x + 3)^2} = \frac{-1 \cdot (x + 3) - (2 - x) \cdot 1}{(x + 3)^2} = \frac{-x - 3 - 2 + x}{(x + 3)^2} = -\frac{5}{(x + 3)^2} $$ 2. Составим неравенство: $$ \frac{2 - x}{x + 3} \cdot \left(-\frac{5}{(x + 3)^2}\right) \geq 0 $$ $$ \frac{-5(2 - x)}{(x + 3)^3} \geq 0 $$ Разделим обе части неравенства на $-5$, изменив знак неравенства: $$ \frac{2 - x}{(x + 3)^3} \leq 0 $$ Умножим числитель на $-1$, еще раз изменив знак: $$ \frac{x - 2}{(x + 3)^3} \geq 0 $$ 3. Решим неравенство методом интервалов: Нуль числителя: $x = 2$ (входит в решение). Нуль знаменателя: $x = -3$ (выколотая точка). Знаки на интервалах: - при $x \in (2; +\infty)$: $+$ - при $x \in (-3; 2)$: $-$ - при $x \in (-\infty; -3)$: $+$ Нам подходят промежутки, где выражение неотрицательно. Ответ: $(-\infty; -3) \cup [2; +\infty)$.