ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-35. вариант - Б2

### Задание 1 **а)** Найдем предел: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{n^2 + 2} $$ Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень знаменателя, то есть на $n^2$: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n}{n^2}}{\frac{n^2 + 2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n}}{1 + \frac{2}{n^2}} $$ Так как при $n \to \infty$ величины $\frac{2}{n} \to 0$ и $\frac{2}{n^2} \to 0$, получаем: $$ \frac{0}{1 + 0} = 0 $$ Ответ: $0$. --- **б)** Найдем предел: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{8 - 3n}{n + 4} $$ Разделим числитель и знаменатель дроби на $n$: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{8}{n} - 3}{1 + \frac{4}{n}} $$ Так как при $n \to \infty$ дроби $\frac{8}{n} \to 0$ и $\frac{4}{n} \to 0$, имеем: $$ \frac{0 - 3}{1 + 0} = -3 $$ Ответ: $-3$. --- **в)** Найдем предел: $$ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + n} - n) $$ Имеем неопределенность вида $[\infty - \infty]$. Умножим и разделим выражение на сопряженное ему $(\sqrt{n^2 + n} + n)$: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2 + n} - n)(\sqrt{n^2 + n} + n)}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2 + n) - n^2}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + n} + n} $$ Разделим числитель и знаменатель на $n$ (внося $n$ под корень как $n^2$ при $n > 0$): $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{2} $$ Ответ: $\frac{1}{2}$. --- **г)** Найдем предел: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{2^n + 3^n}{3^{n+1} + 4} $$ Учитывая, что $3^{n+1} = 3 \cdot 3^n$, разделим числитель и знаменатель дроби на $3^n$: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2^n}{3^n} + 1}{3 + \frac{4}{3^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^n + 1}{3 + \frac{4}{3^n}} $$ Так как $\left|\frac{2}{3}\right| < 1$, то $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0$. Также $\lim_{n \to \infty} \frac{4}{3^n} = 0$. Получаем: $$ \frac{0 + 1}{3 + 0} = \frac{1}{3} $$ Ответ: $\frac{1}{3}$. --- ### Задание 2 **а)** Вычислим предел: $$ \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} $$ Функция непрерывна в точке $x = 0$, подставим значение $x = 0$: $$ \frac{0}{\sqrt{1 + 0^2}} = \frac{0}{1} = 0 $$ Ответ: $0$. --- **б)** Вычислим предел: $$ \lim_{x \to 1} \frac{3x^2 - 5x + 2}{x^2 - 1} $$ При подстановке $x = 1$ получаем неопределенность вида $\left[\frac{0}{0}\right]$. Разложим числитель и знаменатель на множители. Корни числителя $3x^2 - 5x + 2 = 0$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$; $x_1 = \frac{5 + 1}{6} = 1$, $x_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{2}{3}$. Следовательно, $3x^2 - 5x + 2 = 3(x - 1)\left(x - \frac{2}{3}\right) = (x - 1)(3x - 2)$. Знаменатель раскладывается по формуле разности квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Сократим дробь на $(x - 1) \neq 0$: $$ \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(3x - 2)}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{3x - 2}{x + 1} = \frac{3 \cdot 1 - 2}{1 + 1} = \frac{1}{2} $$ Ответ: $\frac{1}{2}$. --- **в)** Вычислим предел: $$ \lim_{x \to 0} \frac{x + \sin 2x}{\sin x} $$ Имеем неопределенность вида $\left[\frac{0}{0}\right]$. Разделим числитель и знаменатель почленно на $x$ при $x \neq 0$: $$ \lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{\sin 2x}{x}}{\frac{\sin x}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x}}{\frac{\sin x}{x}} $$ Используя первый замечательный предел $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$, получаем: $$ \frac{1 + 2 \cdot 1}{1} = 3 $$ Ответ: $3$. --- **г)** Вычислим предел: $$ \lim_{x \to \infty} \frac{x + 2}{\cos(x + 2)} $$ При $x \to \infty$ числитель неограниченно возрастает: $(x + 2) \to \infty$. Знаменатель $\cos(x + 2)$ является периодической функцией, принимающей значения на отрезке $[-1; 1]$, и бесконечное число раз обращается в ноль (в точках $x + 2 = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$), а также меняет знак. Из-за этого выражение не стремится ни к какому определенному значению. Ответ: предел не существует. --- ### Задание 3 Функция $y = f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если она определена в некоторой окрестности этой точки и выполняется равенство: $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $$ #### Вариант условия 1 **а)** $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$ в точке $x_0 = 1$. 1. Точка $x_0 = 1$ входит в область определения функции ($D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$). 2. Значение функции в точке: $$ f(1) = \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0 $$ 3. Предел функции в точке: $$ \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0 $$ Так как $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 0$, функция непрерывна в точке $x_0 = 1$. Ответ: является непрерывной. **б)** $g(x) = \begin{cases} x^2, & \text{при } x \leq -1, \\ 3x + 4, & \text{при } x \geq -1 \end{cases}$ в точке $x_0 = -1$. 1. Значение функции в точке: $g(-1) = (-1)^2 = 1$ (по обеим ветвям $3(-1) + 4 = 1$). 2. Найдем односторонние пределы: $$ \lim_{x \to -1^-} g(x) = \lim_{x \to -1^-} x^2 = (-1)^2 = 1 $$ $$ \lim_{x \to -1^+} g(x) = \lim_{x \to -1^+} (3x + 4) = 3(-1) + 4 = 1 $$ Так как $\lim_{x \to -1^-} g(x) = \lim_{x \to -1^+} g(x) = g(-1) = 1$, функция непрерывна в точке $x_0 = -1$. Ответ: является непрерывной. --- #### Вариант условия 2 **а)** $f(x) = \frac{2 + x}{2 - x}$ в точке $x_0 = -2$. 1. Функция определена в точке $x_0 = -2$ ($D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$). 2. Значение функции: $$ f(-2) = \frac{2 + (-2)}{2 - (-2)} = \frac{0}{4} = 0 $$ 3. Предел функции: $$ \lim_{x \to -2} \frac{2 + x}{2 - x} = \frac{2 + (-2)}{2 - (-2)} = 0 $$ Так как $\lim_{x \to -2} f(x) = f(-2) = 0$, функция непрерывна в точке $x_0 = -2$. Ответ: является непрерывной. **б)** $g(x) = \begin{cases} 2x - 3, & \text{при } x < 1, \\ x^2 - 2, & \text{при } x \geq 1 \end{cases}$ в точке $x_0 = 1$. 1. Значение функции: $g(1) = 1^2 - 2 = -1$. 2. Найдем односторонние пределы: $$ \lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x - 3) = 2 \cdot 1 - 3 = -1 $$ $$ \lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 - 2) = 1^2 - 2 = -1 $$ Так как левосторонний и правосторонний пределы равны между собой и совпадают со значением функции в точке ($\lim_{x \to 1} g(x) = g(1) = -1$), функция непрерывна в точке $x_0 = 1$. Ответ: является непрерывной.