ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-31. вариант - 2

### Вариант 2 --- ### 1. Решите показательное уравнение: **а)** $5^{x^2 - 2x} = 128$ Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 5: $$ \log_5 \left(5^{x^2 - 2x}\right) = \log_5 128 $$ $$ x^2 - 2x = \log_5 128 $$ $$ x^2 - 2x - \log_5 128 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение через четверть дискриминанта: $$ D_1 = (-1)^2 - 1 \cdot (-\log_5 128) = 1 + \log_5 128 = \log_5 5 + \log_5 128 = \log_5 640 $$ Так как $640 > 1$, то $D_1 > 0$, уравнение имеет два корня: $$ x = 1 \pm \sqrt{\log_5 640} $$ Ответ: $1 \pm \sqrt{\log_5 640}$. --- **б)** $16^x - 5 \cdot 36^x + 4 \cdot 81^x = 0$ Запишем степени с основаниями 4 и 9: $$ (4^2)^x - 5 \cdot (4 \cdot 9)^x + 4 \cdot (9^2)^x = 0 $$ $$ (4^x)^2 - 5 \cdot 4^x \cdot 9^x + 4 \cdot (9^x)^2 = 0 $$ Разделим обе части однородного уравнения на $81^x = (9^x)^2 > 0$: $$ \left(\frac{4}{9}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x + 4 = 0 $$ Пусть $t = \left(\frac{4}{9}\right)^x$, где $t > 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - 5t + 4 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$. Возвращаемся к замене: 1) $\left(\frac{4}{9}\right)^x = 1 \implies \left(\frac{4}{9}\right)^x = \left(\frac{4}{9}\right)^0 \implies x_1 = 0$; 2) $\left(\frac{4}{9}\right)^x = 4 \implies \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^x = 2^2 \implies \left(\frac{2}{3}\right)^x = 2 \implies x_2 = \log_{\frac{2}{3}} 2$. Ответ: $0$; $\log_{\frac{2}{3}} 2$. --- **в)** $3^x \cdot 8^{x+1} = 36$ Используем свойства степеней: $$ 3^x \cdot 8^x \cdot 8^1 = 36 $$ $$ (3 \cdot 8)^x \cdot 8 = 36 $$ $$ 24^x = \frac{36}{8} $$ $$ 24^x = \frac{9}{2} $$ По определению логарифма: $$ x = \log_{24} 4,5 $$ Ответ: $\log_{24} 4,5$. --- ### 2. Используя метод логарифмирования, решите уравнение: **а)** $x^{\log_3 x} = 9x$ ОДЗ: $x > 0$. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3: $$ \log_3 \left(x^{\log_3 x}\right) = \log_3 (9x) $$ $$ \log_3 x \cdot \log_3 x = \log_3 9 + \log_3 x $$ $$ \log_3^2 x - \log_3 x - 2 = 0 $$ Пусть $t = \log_3 x$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - t - 2 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = 2$, $t_2 = -1$. Возвращаемся к замене: 1) $\log_3 x = 2 \implies x = 3^2 = 9$; 2) $\log_3 x = -1 \implies x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$. Оба найденных значения удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $\frac{1}{3}$; $9$. --- **б)** $x^{9 \lg^3 x - 11 \lg x} = 0,01$ ОДЗ: $x > 0$. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10: $$ \lg \left(x^{9 \lg^3 x - 11 \lg x}\right) = \lg 0,01 $$ $$ (9 \lg^3 x - 11 \lg x) \cdot \lg x = -2 $$ $$ 9 \lg^4 x - 11 \lg^2 x + 2 = 0 $$ Сделаем замену $u = \lg^2 x$, где $u \ge 0$: $$ 9u^2 - 11u + 2 = 0 $$ $$ D = (-11)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 121 - 72 = 49 = 7^2 $$ $$ u_1 = \frac{11 + 7}{18} = 1, \quad u_2 = \frac{11 - 7}{18} = \frac{2}{9} $$ Возвращаемся к замене: 1) $\lg^2 x = 1 \implies \lg x = \pm 1$: - $\lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$; - $\lg x = -1 \implies x = 10^{-1} = 0,1$. 2) $\lg^2 x = \frac{2}{9} \implies \lg x = \pm \frac{\sqrt{2}}{3}$: - $\lg x = \frac{\sqrt{2}}{3} \implies x = 10^{\frac{\sqrt{2}}{3}}$; - $\lg x = -\frac{\sqrt{2}}{3} \implies x = 10^{-\frac{\sqrt{2}}{3}}$. Все корни входят в ОДЗ. Ответ: $0,1$; $10$; $10^{-\frac{\sqrt{2}}{3}}$; $10^{\frac{\sqrt{2}}{3}}$. --- **в)** $27x^{\log_{27} x} = 9^{\log_{27} x^5}$ ОДЗ: $x > 0$. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 27: $$ \log_{27} \left(27 \cdot x^{\log_{27} x}\right) = \log_{27} \left(9^{\log_{27} x^5}\right) $$ $$ \log_{27} 27 + \log_{27} \left(x^{\log_{27} x}\right) = \log_{27} (x^5) \cdot \log_{27} 9 $$ Вычислим значения логарифмов: $\log_{27} 27 = 1$; $\log_{27} 9 = \log_{3^3} 3^2 = \frac{2}{3}$; $\log_{27} (x^5) = 5 \log_{27} x$. Подставим их в равенство: $$ 1 + \log_{27}^2 x = 5 \log_{27} x \cdot \frac{2}{3} $$ $$ 1 + \log_{27}^2 x = \frac{10}{3} \log_{27} x $$ Умножим обе части уравнения на 3: $$ 3 \log_{27}^2 x - 10 \log_{27} x + 3 = 0 $$ Пусть $t = \log_{27} x$: $$ 3t^2 - 10t + 3 = 0 $$ $$ D_1 = (-5)^2 - 3 \cdot 3 = 25 - 9 = 16 = 4^2 $$ $$ t_1 = \frac{5 + 4}{3} = 3, \quad t_2 = \frac{5 - 4}{3} = \frac{1}{3} $$ Возвращаемся к замене: 1) $\log_{27} x = 3 \implies x = 27^3 = (3^3)^3 = 3^9 = 19683$; 2) $\log_{27} x = \frac{1}{3} \implies x = 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $3$; $19683$. --- **г)** $2 \cdot 6^{\log_6^2 x} - x^{\log_6 x} = 6$ ОДЗ: $x > 0$. Преобразуем выражение $x^{\log_6 x}$. Так как $x = 6^{\log_6 x}$, то: $$ x^{\log_6 x} = \left(6^{\log_6 x}\right)^{\log_6 x} = 6^{\log_6^2 x} $$ Подставим это выражение в исходное уравнение: $$ 2 \cdot 6^{\log_6^2 x} - 6^{\log_6^2 x} = 6 $$ $$ 6^{\log_6^2 x} = 6^1 $$ Приравниваем показатели степеней: $$ \log_6^2 x = 1 \implies \log_6 x = \pm 1 $$ 1) $\log_6 x = 1 \implies x = 6^1 = 6$; 2) $\log_6 x = -1 \implies x = 6^{-1} = \frac{1}{6}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $\frac{1}{6}$; $6$. --- ### 3. Решите систему: **а)** $$ \begin{cases} y^{x^2 + 1} = 100, \\ y^{3x^2 - 2} = 10 \end{cases} $$ ОДЗ: $y > 0, y \neq 1$. Прологарифмируем уравнения по основанию $y$: $$ \begin{cases} x^2 + 1 = \log_y 100, \\ 3x^2 - 2 = \log_y 10 \end{cases} $$ Так как $\log_y 100 = \log_y (10^2) = 2 \log_y 10$, первое уравнение примет вид: $$ x^2 + 1 = 2 \log_y 10 $$ Подставим $\log_y 10 = 3x^2 - 2$ из второго уравнения: $$ x^2 + 1 = 2(3x^2 - 2) $$ $$ x^2 + 1 = 6x^2 - 4 $$ $$ 5x^2 = 5 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 $$ Найдем значение $y$: $$ \log_y 10 = 3 \cdot (\pm 1)^2 - 2 = 1 \implies y^1 = 10 \implies y = 10 $$ Найденное значение $y = 10$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $(1; 10), (-1; 10)$. --- **б)** $$ \begin{cases} y = 1 + \log_4 x, \\ x^y = 4^6 \end{cases} $$ ОДЗ: $x > 0$. Прологарифмируем второе уравнение системы по основанию 4: $$ \log_4 (x^y) = \log_4 (4^6) $$ $$ y \log_4 x = 6 $$ Из первого уравнения выразим $\log_4 x = y - 1$ и подставим во второе: $$ y(y - 1) = 6 $$ $$ y^2 - y - 6 = 0 $$ По теореме Виета: $y_1 = 3$, $y_2 = -2$. Найдем соответствующие значения $x$: 1) Если $y = 3$, то $\log_4 x = 3 - 1 = 2 \implies x = 4^2 = 16$; 2) Если $y = -2$, то $\log_4 x = -2 - 1 = -3 \implies x = 4^{-3} = \frac{1}{64}$. Оба значения $x$ удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $(16; 3), \left(\frac{1}{64}; -2\right)$. --- **в)** $$ \begin{cases} x^{\log_5 y} + y^{\log_5 x} = 50, \\ \log_5 y - \log_5 x = 1 \end{cases} $$ ОДЗ: $x > 0, y > 0$. Используем свойство логарифмов $x^{\log_a y} = y^{\log_a x}$. Тогда $x^{\log_5 y} = y^{\log_5 x}$. Первое уравнение принимает вид: $$ 2 \cdot x^{\log_5 y} = 50 \implies x^{\log_5 y} = 25 $$ Прологарифмируем обе части по основанию 5: $$ \log_5 \left(x^{\log_5 y}\right) = \log_5 25 $$ $$ \log_5 y \cdot \log_5 x = 2 $$ Из второго уравнения системы выразим $\log_5 y = 1 + \log_5 x$ и подставим: $$ (1 + \log_5 x) \cdot \log_5 x = 2 $$ $$ \log_5^2 x + \log_5 x - 2 = 0 $$ По теореме Виета для переменной $\log_5 x$: 1) $\log_5 x = 1 \implies x = 5^1 = 5$; Тогда $\log_5 y = 1 + 1 = 2 \implies y = 5^2 = 25$. 2) $\log_5 x = -2 \implies x = 5^{-2} = \frac{1}{25}$; Тогда $\log_5 y = 1 + (-2) = -1 \implies y = 5^{-1} = \frac{1}{5}$. Оба решения входят в ОДЗ. Ответ: $(5; 25), \left(\frac{1}{25}; \frac{1}{5}\right)$. --- ### 4*. Используя свойства логарифмической функции, решите уравнение: **а)** $2^x = 18 - \log_2 x$ ОДЗ: $x > 0$. Перенесем логарифм в левую часть уравнения: $$ 2^x + \log_2 x = 18 $$ Рассмотрим функцию $f(x) = 2^x + \log_2 x$ на промежутке $(0; +\infty)$: - Функция $y = 2^x$ строго возрастает на $(0; +\infty)$, так как основание $2 > 1$; - Функция $y = \log_2 x$ строго возрастает на $(0; +\infty)$, так как основание $2 > 1$. Сумма двух строго возрастающих функций есть строго возрастающая функция, поэтому $f(x)$ возрастает на $(0; +\infty)$. Следовательно, уравнение $f(x) = 18$ может иметь не более одного корня. Подбором находим: при $x = 4$: $$ f(4) = 2^4 + \log_2 4 = 16 + 2 = 18 $$ Равенство верно, значит, $x = 4$ — единственный корень уравнения. Ответ: $4$. --- **б)** $-3x^2 + 6x - 2 = \log_2 (x^2 + 1) - \log_2 x$ ОДЗ: $x > 0$. Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу разности логарифмов: $$ \log_2 (x^2 + 1) - \log_2 x = \log_2 \left(\frac{x^2 + 1}{x}\right) = \log_2 \left(x + \frac{1}{x}\right) $$ Оценим обе части уравнения: 1) Для правой части: так как $x > 0$, то по неравенству Коши о средних: $$ x + \frac{1}{x} \ge 2 $$ причем равенство достигается только при $x = 1$. Так как функция $y = \log_2 t$ возрастает при $t > 0$ (основание $2 > 1$), имеем: $$ \log_2 \left(x + \frac{1}{x}\right) \ge \log_2 2 = 1 $$ 2) Для левой части: выделим полный квадрат квадратного трехчлена: $$ -3x^2 + 6x - 2 = -3(x^2 - 2x) - 2 = -3(x - 1)^2 + 3 - 2 = 1 - 3(x - 1)^2 $$ Так как $-3(x - 1)^2 \le 0$ для всех $x$, то: $$ -3x^2 + 6x - 2 \le 1 $$ причем равенство достигается только при $x = 1$. Левая часть уравнения всегда меньше либо равна $1$, а правая часть — больше либо равна $1$. Равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны $1$: $$ \begin{cases} 1 - 3(x - 1)^2 = 1, \\ \log_2 \left(x + \frac{1}{x}\right) = 1 \end{cases} $$ Из первого уравнения: $(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1$. Проверим второе уравнение при $x = 1$: $\log_2 \left(1 + \frac{1}{1}\right) = \log_2 2 = 1$ — верно. Значит, $x = 1$ является единственным корнем уравнения. Ответ: $1$.