ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-3. вариант - В1

### 1. Вычислите: **а)** $\sin 530^\circ - \cos \frac{22\pi}{9}$ Применим формулы приведения и периодичность тригонометрических функций: 1. Преобразуем первое слагаемое: $$ \sin 530^\circ = \sin(360^\circ + 170^\circ) = \sin 170^\circ = \sin(180^\circ - 10^\circ) = \sin 10^\circ $$ 2. Преобразуем второе слагаемое: $$ \cos \frac{22\pi}{9} = \cos\left(2\pi + \frac{4\pi}{9}\right) = \cos \frac{4\pi}{9} $$ Переведем аргумент в градусы: $\frac{4\pi}{9} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{9} = 80^\circ$. Тогда: $$ \cos 80^\circ = \cos(90^\circ - 10^\circ) = \sin 10^\circ $$ 3. Подставим полученные значения в исходное выражение: $$ \sin 530^\circ - \cos \frac{22\pi}{9} = \sin 10^\circ - \sin 10^\circ = 0 $$ Ответ: $0$. --- **б)** $\frac{\sin 21^\circ \cos 9^\circ + \cos 159^\circ \cos 99^\circ}{\sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 160^\circ \cos 100^\circ}$ Преобразуем множители с помощью формул приведения: - $\cos 159^\circ = \cos(180^\circ - 21^\circ) = -\cos 21^\circ$; - $\cos 99^\circ = \cos(90^\circ + 9^\circ) = -\sin 9^\circ$; - $\cos 160^\circ = \cos(180^\circ - 20^\circ) = -\cos 20^\circ$; - $\cos 100^\circ = \cos(90^\circ + 10^\circ) = -\sin 10^\circ$. 1. Упростим числитель: $$ \sin 21^\circ \cos 9^\circ + (-\cos 21^\circ)(-\sin 9^\circ) = \sin 21^\circ \cos 9^\circ + \cos 21^\circ \sin 9^\circ $$ По формуле синуса суммы $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$: $$ \sin 21^\circ \cos 9^\circ + \cos 21^\circ \sin 9^\circ = \sin(21^\circ + 9^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $$ 2. Упростим знаменатель: $$ \sin 20^\circ \cos 10^\circ + (-\cos 20^\circ)(-\sin 10^\circ) = \sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 20^\circ \sin 10^\circ $$ По формуле синуса суммы: $$ \sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 20^\circ \sin 10^\circ = \sin(20^\circ + 10^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $$ 3. Найдем значение всей дроби: $$ \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1 $$ Ответ: $1$. --- ### 2. Упростите выражение: **а)** $\frac{\cos(\pi - \alpha) \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \beta\right)}{\operatorname{tg}(\pi + \alpha - \beta)} + \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \cos(2\pi - \beta)}{\operatorname{tg}(\pi + \alpha - \beta)}$ 1. Запишем выражение под общей дробной чертой: $$ \frac{\cos(\pi - \alpha) \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \beta\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \cos(2\pi - \beta)}{\operatorname{tg}(\pi + (\alpha - \beta))} $$ 2. Применим формулы приведения к каждому множителю: - $\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$; - $\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \beta\right) = -\sin \beta$; - $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha$; - $\cos(2\pi - \beta) = \cos(-\beta) = \cos \beta$; - $\operatorname{tg}(\pi + (\alpha - \beta)) = \operatorname{tg}(\alpha - \beta)$. 3. Преобразуем числитель: $$ (-\cos \alpha)(-\sin \beta) + (-\sin \alpha)\cos \beta = \cos \alpha \sin \beta - \sin \alpha \cos \beta = -(\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta) = -\sin(\alpha - \beta) $$ 4. Разделим числитель на знаменатель: $$ \frac{-\sin(\alpha - \beta)}{\operatorname{tg}(\alpha - \beta)} = \frac{-\sin(\alpha - \beta)}{\frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta)}} = -\cos(\alpha - \beta) $$ Ответ: $-\cos(\alpha - \beta)$. --- **б)** $\sin(\alpha + \beta) \sin(\alpha - \beta) + \cos^2 \alpha + \sin^2 \beta$ 1. Преобразуем произведение синусов по формулам синуса суммы и синуса разности: $$ \sin(\alpha + \beta) \sin(\alpha - \beta) = (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)(\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta) $$ Используя формулу разности квадратов: $$ = \sin^2 \alpha \cos^2 \beta - \cos^2 \alpha \sin^2 \beta $$ Выразим $\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta$ и $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$: $$ = \sin^2 \alpha (1 - \sin^2 \beta) - (1 - \sin^2 \alpha) \sin^2 \beta = \sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta - \sin^2 \beta + \sin^2 \alpha \sin^2 \beta = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta $$ 2. Подставим полученный результат в исходное выражение: $$ (\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta) + \cos^2 \alpha + \sin^2 \beta = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $$ Ответ: $1$. --- ### 3. Докажите тождество: $$ \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta + (\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha + \beta) = 1 $$ **Доказательство:** 1. Воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов: $$ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} $$ 2. Так как котангенс обратен тангенсу ($\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$), получаем: $$ \operatorname{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta} $$ 3. Преобразуем левую часть тождества, подставив выражение для $\operatorname{ctg}(\alpha + \beta)$: $$ \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta + (\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta) \cdot \frac{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta} $$ Сократим дробь на $(\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta)$: $$ = \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta + (1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta) = \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta + 1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta = 1 $$ Левая часть равна правой части: $1 = 1$. Тождество доказано.