ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-29. вариант - Б2

### Вариант Б2 #### 1. Вычислите: **а)** $\log_{0,5} 4 + \log_{\sqrt{5}} 25$ Представим основания и аргументы логарифмов в виде степеней простых чисел: - $0,5 = 2^{-1}$, $4 = 2^2 \implies \log_{0,5} 4 = \log_{2^{-1}} 2^2 = \frac{2}{-1}\log_2 2 = -2$; - $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$, $25 = 5^2 \implies \log_{\sqrt{5}} 25 = \log_{5^{1/2}} 5^2 = \frac{2}{\frac{1}{2}}\log_5 5 = 4$. Сложим полученные значения: $$-2 + 4 = 2$$ Ответ: $2$. **б)** $\log_{0,75} \log_{27} 81$ Сначала вычислим внутренний логарифм: $$\log_{27} 81 = \log_{3^3} 3^4 = \frac{4}{3}$$ Преобразуем основание внешнего логарифма: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} = \left(\frac{4}{3}\right)^{-1}$. Тогда: $$\log_{0,75} \frac{4}{3} = \log_{\left(\frac{4}{3}\right)^{-1}} \frac{4}{3} = -1$$ Ответ: $-1$. **в)** $100^{2\lg 2 + \lg 3}$ Преобразуем показатель степени с помощью свойств логарифмов: $$2\lg 2 + \lg 3 = \lg(2^2) + \lg 3 = \lg 4 + \lg 3 = \lg(4 \cdot 3) = \lg 12$$ Используя основное логарифмическое тождество $10^{\lg b} = b$: $$100^{\lg 12} = \left(10^2\right)^{\lg 12} = \left(10^{\lg 12}\right)^2 = 12^2 = 144$$ Ответ: $144$. --- #### 2. Найдите значение $x$, если: **а)** $5^{3x+6} = 27$ Представим правую часть в виде степени: $27 = 3^3$. Вынесем общий множитель в показателе левой части: $$5^{3(x+2)} = 3^3$$ $$\left(5^{x+2}\right)^3 = 3^3$$ Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения: $$5^{x+2} = 3$$ По определению логарифма: $$x + 2 = \log_5 3$$ $$x = \log_5 3 - 2$$ Запишем число $2$ как $\log_5 25$: $$x = \log_5 3 - \log_5 25 = \log_5 \frac{3}{25} = \log_5 0,12$$ Ответ: $x = \log_5 3 - 2$ (или $\log_5 0,12$). **б)** $\log_{\sqrt{5}} x = \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{2^{\log_2 5}}$ ОДЗ уравнения: $x > 0$. Преобразуем правую часть уравнения. По основному логарифмическому тождеству $2^{\log_2 5} = 5$: $$\frac{1}{2^{\log_2 5}} = \frac{1}{5}$$ Вычислим значение правой части: $$\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{5} = 1$$ Подставим найденное значение в уравнение: $$\log_{\sqrt{5}} x = 1$$ По определению логарифма: $$x = (\sqrt{5})^1 = \sqrt{5}$$ Значение $x = \sqrt{5}$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$). Ответ: $x = \sqrt{5}$. --- #### 3. Сравните числа: **а)** $\log_2 9$ и $\lg 900$ Оценим значение каждого числа: 1. Так как $8 < 9 < 16$, а функция $y = \log_2 t$ возрастает при основании $2 > 1$: $$\log_2 9 > \log_2 8 = 3$$ 2. Преобразуем десятичный логарифм: $$\lg 900 = \lg(9 \cdot 100) = \lg 9 + \lg 100 = \lg 9 + 2$$ Так как $9 < 10$, то $\lg 9 < \lg 10 = 1$. Следовательно: $$\lg 900 = 2 + \lg 9 < 2 + 1 = 3$$ Так как $\log_2 9 > 3$, а $\lg 900 < 3$, получаем: $$\log_2 9 > \lg 900$$ Ответ: $\log_2 9 > \lg 900$. **б)** $\log_2 25 \cdot \log_5 \sqrt{2}$ и $\frac{\log_3 0,75}{\log_3 \sin \frac{\pi}{3}}$ Вычислим первое выражение: $$\log_2 25 \cdot \log_5 \sqrt{2} = \log_2(5^2) \cdot \log_5(2^{1/2}) = 2\log_2 5 \cdot \frac{1}{2}\log_5 2 = \log_2 5 \cdot \log_5 2 = 1$$ Вычислим второе выражение. Заметим, что $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, тогда: $$\left(\sin \frac{\pi}{3}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} = 0,75$$ Подставим $0,75 = \left(\sin \frac{\pi}{3}\right)^2$ в числитель: $$\frac{\log_3 0,75}{\log_3 \sin \frac{\pi}{3}} = \frac{\log_3 \left(\sin \frac{\pi}{3}\right)^2}{\log_3 \sin \frac{\pi}{3}} = \frac{2\log_3 \sin \frac{\pi}{3}}{\log_3 \sin \frac{\pi}{3}} = 2$$ Сравним полученные результаты: $1 < 2$, следовательно: $$\log_2 25 \cdot \log_5 \sqrt{2} < \frac{\log_3 0,75}{\log_3 \sin \frac{\pi}{3}}$$ Ответ: $\log_2 25 \cdot \log_5 \sqrt{2} < \frac{\log_3 0,75}{\log_3 \sin \frac{\pi}{3}}$. --- #### 4. Найдите значение выражения: **а)** $\lg \operatorname{ctg} 42^\circ + \lg \operatorname{ctg} 48^\circ$ Применим свойство суммы логарифмов: $$\lg \operatorname{ctg} 42^\circ + \lg \operatorname{ctg} 48^\circ = \lg(\operatorname{ctg} 42^\circ \cdot \operatorname{ctg} 48^\circ)$$ По формуле приведения $\operatorname{ctg} 48^\circ = \operatorname{ctg}(90^\circ - 42^\circ) = \operatorname{tg} 42^\circ$. Так как $\operatorname{ctg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha = 1$: $$\operatorname{ctg} 42^\circ \cdot \operatorname{ctg} 48^\circ = \operatorname{ctg} 42^\circ \cdot \operatorname{tg} 42^\circ = 1$$ Тогда: $$\lg 1 = 0$$ Ответ: $0$. **б)** $\frac{\log_5^2 10 - \log_5^2 2}{\log_5 20}$ Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$\log_5^2 10 - \log_5^2 2 = (\log_5 10 - \log_5 2)(\log_5 10 + \log_5 2)$$ Применим формулы разности и суммы логарифмов: 1. $\log_5 10 - \log_5 2 = \log_5 \frac{10}{2} = \log_5 5 = 1$; 2. $\log_5 10 + \log_5 2 = \log_5 (10 \cdot 2) = \log_5 20$. Подставим полученные значения в дробь: $$\frac{1 \cdot \log_5 20}{\log_5 20} = 1$$ Ответ: $1$.