ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-23. вариант - 2

### 1. Решите иррациональное уравнение, используя в решении указанный способ: #### — разложение на множители (с учетом ОДЗ): **а)** $(x + 2)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6x + 12$ Перенесем слагаемые из правой части в левую и разложим правую часть на множители: $$(x + 2)\sqrt{x^2 - x - 20} - 6(x + 2) = 0$$ $$(x + 2)\left(\sqrt{x^2 - x - 20} - 6\right) = 0$$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$x^2 - x - 20 \ge 0 \iff (x - 5)(x + 4) \ge 0 \iff x \in (-\infty; -4] \cup [5; +\infty)$$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $x + 2 = 0 \implies x = -2$. Число $-2 \notin (-\infty; -4] \cup [5; +\infty)$, следовательно, этот корень не входит в ОДЗ (посторонний корень). 2) $\sqrt{x^2 - x - 20} - 6 = 0 \implies \sqrt{x^2 - x - 20} = 6$. Возведем обе части в квадрат: $$x^2 - x - 20 = 36$$ $$x^2 - x - 56 = 0$$ По теореме Виета: $x_1 = 8$, $x_2 = -7$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $-7; 8$. --- **б)** $\sqrt{x^2 + x - 2} + \sqrt{x^2 - 4x + 3} = \sqrt{x^2 - 1}$ Разложим подкоренные выражения на множители: * $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$; * $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$; * $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Уравнение принимает вид: $$\sqrt{(x - 1)(x + 2)} + \sqrt{(x - 1)(x - 3)} = \sqrt{(x - 1)(x + 1)}$$ ОДЗ определяется системой неравенств: $$\begin{cases} (x - 1)(x + 2) \ge 0 \\ (x - 1)(x - 3) \ge 0 \\ (x - 1)(x + 1) \ge 0 \end{cases}$$ При $x = 1$ все подкоренные выражения равны $0$, значит, $x = 1$ принадлежит ОДЗ и является корнем уравнения: $\sqrt{0} + \sqrt{0} = \sqrt{0}$ (верно). Рассмотрим остальные случаи: 1) Если $x > 1$, то $x - 1 > 0$. Тогда из ОДЗ следует: $x + 2 > 0$, $x + 1 > 0$, а также $x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$. При $x \ge 3$ разделим обе части уравнения на $\sqrt{x - 1} > 0$: $$\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 3} = \sqrt{x + 1}$$ Возведем обе части в квадрат: $$x + 2 + x - 3 + 2\sqrt{(x + 2)(x - 3)} = x + 1$$ $$2\sqrt{x^2 - x - 6} = 2 - x$$ Так как $x \ge 3$, то правая часть $2 - x \le -1 < 0$, в то время как левая часть неотрицательна. В этом случае решений нет. 2) Если $x < 1$, то $x - 1 < 0$. Для неотрицательности подкоренных выражений все вторые множители должны быть неположительными: $x + 2 \le 0 \implies x \le -2$; $x - 3 \le 0$ (верно); $x + 1 \le 0$ (верно при $x \le -2$). Следовательно, $x \le -2$. Запишем корни через положительные сомножители: $$\sqrt{1 - x}\sqrt{-x - 2} + \sqrt{1 - x}\sqrt{3 - x} = \sqrt{1 - x}\sqrt{-x - 1}$$ Разделим на $\sqrt{1 - x} > 0$: $$\sqrt{-x - 2} + \sqrt{3 - x} = \sqrt{-x - 1}$$ Возведем обе части в квадрат: $$-x - 2 + 3 - x + 2\sqrt{(-x - 2)(3 - x)} = -x - 1$$ $$2\sqrt{x^2 - x - 6} = x - 2$$ При $x \le -2$ правая часть $x - 2 \le -4 < 0$, а левая часть неотрицательна. Решений нет. Ответ: $1$. --- #### — введение одной или нескольких новых переменных: **в)** $\frac{x^2}{\sqrt{x + 2}} + x = 2\sqrt{x + 2}$ ОДЗ: $x + 2 > 0 \implies x > -2$. Умножим обе части уравнения на $\sqrt{x + 2} > 0$: $$x^2 + x\sqrt{x + 2} - 2(\sqrt{x + 2})^2 = 0$$ Пусть $u = x$, $v = \sqrt{x + 2}$ ($v > 0$). Получаем однородное уравнение: $$u^2 + uv - 2v^2 = 0 \iff (u - v)(u + 2v) = 0$$ 1) $u = v \implies x = \sqrt{x + 2}$. При $x \ge 0$: $$x^2 = x + 2 \iff x^2 - x - 2 = 0 \implies x = 2 \text{ или } x = -1$$ Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только $x = 2$. 2) $u = -2v \implies x = -2\sqrt{x + 2}$. Так как $\sqrt{x + 2} > 0$, то $x < 0$. С учетом ОДЗ: $-2 < x < 0$. Возведем в квадрат: $$x^2 = 4(x + 2) \iff x^2 - 4x - 8 = 0$$ $$D = 16 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 48$$ $$x = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$$ Так как $x \in (-2; 0)$, выбираем $x = 2 - 2\sqrt{3}$ (поскольку $2 + 2\sqrt{3} > 0$). Ответ: $2 - 2\sqrt{3}; 2$. --- **г)** $\sqrt[3]{x - 4} = 1 - \sqrt{x + 1}$ ОДЗ: $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$. Пусть $u = \sqrt[3]{x - 4}$, $v = \sqrt{x + 1}$ ($v \ge 0$). Свяжем переменные через $x$: $$u^3 = x - 4, \quad v^2 = x + 1 \implies v^2 - u^3 = 5$$ Из исходного уравнения: $u = 1 - v \implies v = 1 - u$. Подставим в равенство: $$(1 - u)^2 - u^3 = 5$$ $$1 - 2u + u^2 - u^3 - 5 = 0 \iff u^3 - u^2 + 2u + 4 = 0$$ Разложим на множители группировкой: $$(u^3 + 1) - (u^2 - 2u - 3) = (u + 1)(u^2 - u + 1) - (u + 1)(u - 3) = 0$$ $$(u + 1)(u^2 - 2u + 4) = 0$$ Для квадратного трехчлена $u^2 - 2u + 4 = 0$ дискриминант $D = 4 - 16 = -12 < 0$, поэтому действительных корней нет. Следовательно, $u = -1$. Тогда: $$\sqrt[3]{x - 4} = -1 \implies x - 4 = -1 \implies x = 3$$ Проверим значение $v$: $v = 1 - (-1) = 2 \ge 0$. Корень $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $3$. --- **д)** $\sqrt[4]{x + 8} - \sqrt[4]{x - 8} = 2$ ОДЗ: $x - 8 \ge 0 \implies x \ge 8$. Пусть $u = \sqrt[4]{x + 8}$, $v = \sqrt[4]{x - 8}$ ($u \ge 0, v \ge 0$). Составим систему: $$\begin{cases} u - v = 2 \\ u^4 - v^4 = (x + 8) - (x - 8) = 16 \end{cases}$$ Разложим разность четвертых степеней: $$u^4 - v^4 = (u - v)(u + v)(u^2 + v^2) = 16$$ Так как $u - v = 2$: $$2(u + v)(u^2 + v^2) = 16 \implies (u + v)(u^2 + v^2) = 8$$ Подставим $u = v + 2$: $$(2v + 2)((v + 2)^2 + v^2) = 8$$ $$2(v + 1)(2v^2 + 4v + 4) = 8 \iff 4(v + 1)(v^2 + 2v + 2) = 8$$ $$(v + 1)(v^2 + 2v + 2) = 2 \iff v^3 + 3v^2 + 4v + 2 = 2$$ $$v(v^2 + 3v + 4) = 0$$ Уравнение $v^2 + 3v + 4 = 0$ не имеет действительных корней ($D = 9 - 16 < 0$). Следовательно, $v = 0$. Возвращаемся к переменной $x$: $$\sqrt[4]{x - 8} = 0 \implies x = 8$$ Ответ: $8$. --- **е)** $\sqrt{x + 5} + \sqrt{x} = 2x - 15 + 2\sqrt{x^2 + 5x}$ ОДЗ: $x \ge 0$. Пусть $t = \sqrt{x + 5} + \sqrt{x}$ ($t > 0$). Возведем замену в квадрат: $$t^2 = x + 5 + x + 2\sqrt{x(x + 5)} = 2x + 5 + 2\sqrt{x^2 + 5x}$$ Заметим, что правая часть уравнения равна: $$2x - 15 + 2\sqrt{x^2 + 5x} = (2x + 5 + 2\sqrt{x^2 + 5x}) - 20 = t^2 - 20$$ Получаем квадратное уравнение: $$t = t^2 - 20 \iff t^2 - t - 20 = 0 \implies (t - 5)(t + 4) = 0$$ Так как $t > 0$, выбираем $t = 5$. Решим уравнение: $$\sqrt{x + 5} + \sqrt{x} = 5 \implies \sqrt{x + 5} = 5 - \sqrt{x}$$ Возведем в квадрат при $0 \le x \le 25$: $$x + 5 = 25 - 10\sqrt{x} + x \implies 10\sqrt{x} = 20 \implies \sqrt{x} = 2 \implies x = 4$$ Корень удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $4$. --- **в)** $\frac{x^2}{\sqrt{2x + 5}} + \sqrt{2x + 5} = 2x$ ОДЗ: $2x + 5 > 0 \implies x > -2{,}5$. Умножим обе части уравнения на $\sqrt{2x + 5} > 0$: $$x^2 + (2x + 5) = 2x\sqrt{2x + 5}$$ $$x^2 - 2x\sqrt{2x + 5} + (\sqrt{2x + 5})^2 = 0$$ Выделим полный квадрат: $$(x - \sqrt{2x + 5})^2 = 0 \implies x = \sqrt{2x + 5}$$ Так как корень неотрицателен, $x \ge 0$. Возведем обе части в квадрат: $$x^2 = 2x + 5 \iff x^2 - 2x - 5 = 0$$ $$D = 4 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 24$$ $$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$$ С учетом условия $x \ge 0$ подходит только $x = 1 + \sqrt{6}$. Ответ: $1 + \sqrt{6}$. --- **г)** $\sqrt[3]{2 - x} = 1 - \sqrt{x - 1}$ ОДЗ: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Пусть $u = \sqrt[3]{2 - x}$, $v = \sqrt{x - 1}$ ($v \ge 0$). Сложим степени: $$u^3 + v^2 = (2 - x) + (x - 1) = 1$$ Из уравнения: $u = 1 - v \implies v = 1 - u$. Подставим в равенство: $$u^3 + (1 - u)^2 = 1 \iff u^3 + u^2 - 2u = 0 \iff u(u - 1)(u + 2) = 0$$ 1) $u = 0 \implies v = 1 \ge 0$. $\sqrt[3]{2 - x} = 0 \implies x = 2$. 2) $u = 1 \implies v = 0 \ge 0$. $\sqrt[3]{2 - x} = 1 \implies 2 - x = 1 \implies x = 1$. 3) $u = -2 \implies v = 3 \ge 0$. $\sqrt[3]{2 - x} = -2 \implies 2 - x = -8 \implies x = 10$. Все найденные значения входят в ОДЗ. Ответ: $1; 2; 10$. --- **д)** $\sqrt[4]{1 - x} + \sqrt[4]{15 + x} = 2$ ОДЗ: $-15 \le x \le 1$. Пусть $u = \sqrt[4]{1 - x} \ge 0$, $v = \sqrt[4]{15 + x} \ge 0$. Тогда $u^4 + v^4 = (1 - x) + (15 + x) = 16$. Получаем систему: $$\begin{cases} u + v = 2 \\ u^4 + v^4 = 16 \end{cases}$$ Выразим $u^4 + v^4$ через $p = uv$: $$u^2 + v^2 = (u + v)^2 - 2uv = 4 - 2p$$ $$u^4 + v^4 = (u^2 + v^2)^2 - 2(uv)^2 = (4 - 2p)^2 - 2p^2 = 2p^2 - 16p + 16$$ Приравняем к $16$: $$2p^2 - 16p + 16 = 16 \iff 2p(p - 8) = 0 \implies p = 0 \text{ или } p = 8$$ 1) Если $p = uv = 0$, то при $u + v = 2$: - Либо $u = 0, v = 2 \implies \sqrt[4]{1 - x} = 0 \implies x = 1$; - Либо $v = 0, u = 2 \implies \sqrt[4]{15 + x} = 0 \implies x = -15$. 2) Если $p = uv = 8$, то $u$ и $v$ — корни уравнения $t^2 - 2t + 8 = 0$, дискриминант которого $D = 4 - 32 < 0$ (действительных корней нет). Ответ: $-15; 1$. --- **е)** $\sqrt{x} + \sqrt{x - 8} = 2x - 20 + 2\sqrt{x^2 - 8x}$ ОДЗ: $x \ge 8$. Пусть $t = \sqrt{x} + \sqrt{x - 8}$ ($t > 0$). Возведем в квадрат: $$t^2 = x + x - 8 + 2\sqrt{x(x - 8)} = 2x - 8 + 2\sqrt{x^2 - 8x}$$ Заметим, что: $$2x - 20 + 2\sqrt{x^2 - 8x} = (2x - 8 + 2\sqrt{x^2 - 8x}) - 12 = t^2 - 12$$ Уравнение принимает вид: $$t = t^2 - 12 \iff t^2 - t - 12 = 0 \implies (t - 4)(t + 3) = 0$$ Так как $t > 0$, получаем $t = 4$. Решим уравнение: $$\sqrt{x} + \sqrt{x - 8} = 4 \implies \sqrt{x - 8} = 4 - \sqrt{x}$$ Возведем в квадрат при $x \le 16$: $$x - 8 = 16 - 8\sqrt{x} + x \implies 8\sqrt{x} = 24 \implies \sqrt{x} = 3 \implies x = 9$$ Проверка показывает, что корень $x = 9$ удовлетворяет ОДЗ и исходному уравнению. Ответ: $9$. --- #### — домножение на сопряженный радикал: **ж)** $\sqrt{2x^2 + 3x + 5} + \sqrt{2x^2 - 3x + 5} = 3x$ Подкоренные выражения положительны при всех $x \in \mathbb{R}$ (дискриминанты обоих трехчленов отрицательны). Поскольку сумма двух положительных корней равна $3x$, то $x > 0$. Домножим обе части на сопряженное выражение $(\sqrt{2x^2 + 3x + 5} - \sqrt{2x^2 - 3x + 5})$: $$(2x^2 + 3x + 5) - (2x^2 - 3x + 5) = 3x(\sqrt{2x^2 + 3x + 5} - \sqrt{2x^2 - 3x + 5})$$ $$6x = 3x(\sqrt{2x^2 + 3x + 5} - \sqrt{2x^2 - 3x + 5})$$ Так как $x > 0$, разделим на $3x$: $$\sqrt{2x^2 + 3x + 5} - \sqrt{2x^2 - 3x + 5} = 2$$ Сложим это уравнение с исходным: $$2\sqrt{2x^2 + 3x + 5} = 3x + 2$$ Возведем в квадрат обе части (при $3x + 2 > 0$): $$4(2x^2 + 3x + 5) = 9x^2 + 12x + 4$$ $$8x^2 + 12x + 20 = 9x^2 + 12x + 4 \iff x^2 = 16 \implies x = \pm 4$$ Так как $x > 0$, получаем $x = 4$. Ответ: $4$. --- **ж)** $(\sqrt{x + 1} + 1)(\sqrt{x + 10} - 4) = x$ ОДЗ: $x \ge -1$. Заметим, что $(\sqrt{x + 1} + 1)(\sqrt{x + 1} - 1) = x + 1 - 1 = x$. Если $x = 0$, то $(\sqrt{1} + 1)(\sqrt{10} - 4) = 2(\sqrt{10} - 4) \neq 0$, то есть $x = 0$ не корень. При $x \neq 0$ домножим обе части уравнения на сопряженное выражение $(\sqrt{x + 1} - 1) \neq 0$: $$x(\sqrt{x + 10} - 4) = x(\sqrt{x + 1} - 1)$$ Разделим на $x \neq 0$: $$\sqrt{x + 10} - 4 = \sqrt{x + 1} - 1 \iff \sqrt{x + 10} = \sqrt{x + 1} + 3$$ Возведем в квадрат: $$x + 10 = x + 1 + 6\sqrt{x + 1} + 9 \iff 6\sqrt{x + 1} = 0 \implies x = -1$$ Проверка: при $x = -1$ имеем $(0 + 1)(\sqrt{9} - 4) = 1 \cdot (-1) = -1$, верное равенство. Ответ: $-1$. --- **з)** $\frac{\sqrt{2 + x} + \sqrt{2 - x}}{\sqrt{2 + x} - \sqrt{2 - x}} = \frac{2}{x}$ ОДЗ: $x \in [-2; 0) \cup (0; 2]$. Домножим числитель и знаменатель дроби в левой части на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{2 + x} + \sqrt{2 - x})$: $$\frac{(\sqrt{2 + x} + \sqrt{2 - x})^2}{(2 + x) - (2 - x)} = \frac{2}{x}$$ $$\frac{2 + x + 2 - x + 2\sqrt{4 - x^2}}{2x} = \frac{2}{x}$$ $$\frac{4 + 2\sqrt{4 - x^2}}{2x} = \frac{2}{x} \iff \frac{2 + \sqrt{4 - x^2}}{x} = \frac{2}{x}$$ Умножим обе части на $x \neq 0$: $$2 + \sqrt{4 - x^2} = 2 \implies \sqrt{4 - x^2} = 0 \implies 4 - x^2 = 0 \implies x = \pm 2$$ Оба корня принадлежат ОДЗ. Ответ: $-2; 2$. --- #### — выделение полного квадрата: **и)** $\sqrt{x + 5 - 4\sqrt{x + 1}} + \sqrt{x + 10 - 6\sqrt{x + 1}} = 1$ ОДЗ: $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$. Преобразуем подкоренные выражения: * $x + 5 - 4\sqrt{x + 1} = (x + 1) - 4\sqrt{x + 1} + 4 = (\sqrt{x + 1} - 2)^2$; * $x + 10 - 6\sqrt{x + 1} = (x + 1) - 6\sqrt{x + 1} + 9 = (\sqrt{x + 1} - 3)^2$. Уравнение принимает вид: $$|\sqrt{x + 1} - 2| + |\sqrt{x + 1} - 3| = 1$$ Пусть $t = \sqrt{x + 1} \ge 0$. Уравнение $|t - 2| + |t - 3| = 1$ означает, что сумма расстояний на числовой прямой от точки $t$ до точек $2$ и $3$ равна расстоянию между ними. Это верно тогда и только тогда, когда $t$ принадлежит отрезку между ними: $$2 \le t \le 3$$ Возвращаясь к $x$: $$2 \le \sqrt{x + 1} \le 3 \iff 4 \le x + 1 \le 9 \iff 3 \le x \le 8$$ Ответ: $[3; 8]$. --- #### — сравнение значений обеих частей уравнения на ОДЗ: **к\*)** $\sqrt{4x^2 - 1} = 1 - \sqrt{4x - 1}$ Найдем ОДЗ: $$\begin{cases} 4x^2 - 1 \ge 0 \\ 4x - 1 \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \in (-\infty; -0{,}5] \cup [0{,}5; +\infty) \\ x \ge 0{,}25 \end{cases} \implies x \ge 0{,}5$$ Оценим обе части уравнения на ОДЗ: * Левая часть неотрицательна: $\sqrt{4x^2 - 1} \ge 0$. * При $x \ge 0{,}5$ выражение $4x - 1 \ge 4 \cdot 0{,}5 - 1 = 1 \implies \sqrt{4x - 1} \ge 1$. Следовательно, правая часть: $1 - \sqrt{4x - 1} \le 0$. Равенство неотрицательной и неположительной функций возможно только тогда, когда обе части одновременно равны нулю: $$\begin{cases} \sqrt{4x^2 - 1} = 0 \\ 1 - \sqrt{4x - 1} = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 0{,}5 \\ x = 0{,}5 \end{cases} \implies x = 0{,}5$$ Ответ: $0{,}5$. --- **к\*)** $\sqrt{x + 3} + \sqrt{x - 1} = \frac{2}{x}$ ОДЗ: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Оценим значения функций на ОДЗ: * Функция $f(x) = \sqrt{x + 3} + \sqrt{x - 1}$ является строго возрастающей на $[1; +\infty)$. Ее наименьшее значение: $f(1) = \sqrt{4} + 0 = 2$. Значит, при всех $x \ge 1$: $f(x) \ge 2$. * Функция $g(x) = \frac{2}{x}$ является строго убывающей на $[1; +\infty)$. Ее наибольшее значение: $g(1) = \frac{2}{1} = 2$. Значит, при всех $x \ge 1$: $g(x) \le 2$. Равенство $f(x) = g(x)$ возможно лишь в случае, когда обе части равны $2$: $$f(x) = 2 \quad \text{и} \quad g(x) = 2 \implies x = 1$$ Ответ: $1$. --- ### 2. Решите неравенство, используя равносильные преобразования или метод интервалов: **a)** $\sqrt{x^2 - 3x - 4} > x - 2$ Неравенство равносильно совокупности двух систем: $$\left[ \begin{gathered} \begin{cases} x^2 - 3x - 4 \ge 0 \\ x - 2 < 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ x^2 - 3x - 4 > (x - 2)^2 \end{cases} \end{gathered} \right.$$ 1) Первая система: * $x^2 - 3x - 4 \ge 0 \iff (x - 4)(x + 1) \ge 0 \implies x \in (-\infty; -1] \cup [4; +\infty)$; * $x < 2$. Пересечение: $x \in (-\infty; -1]$. 2) Вторая система: * $x \ge 2$; * $x^2 - 3x - 4 > x^2 - 4x + 4 \implies x > 8$. Пересечение: $x \in (8; +\infty)$. Объединяя результаты, получаем: $x \in (-\infty; -1] \cup (8; +\infty)$. Ответ: $(-\infty; -1] \cup (8; +\infty)$. --- **b)** $\sqrt{x - 5} + \sqrt{10 - x} < 3$ ОДЗ: $$\begin{cases} x - 5 \ge 0 \\ 10 - x \ge 0 \end{cases} \implies x \in [5; 10]$$ Обе части неравенства неотрицательны на ОДЗ, возведем их в квадрат: $$x - 5 + 10 - x + 2\sqrt{(x - 5)(10 - x)} < 9$$ $$5 + 2\sqrt{-x^2 + 15x - 50} < 9 \iff \sqrt{-x^2 + 15x - 50} < 2$$ С учетом ОДЗ возведем в квадрат: $$-x^2 + 15x - 50 < 4 \iff x^2 - 15x + 54 > 0 \iff (x - 6)(x - 9) > 0$$ Получаем: $x \in (-\infty; 6) \cup (9; +\infty)$. Пересекая с ОДЗ $[5; 10]$, находим: $x \in [5; 6) \cup (9; 10]$. Ответ: $[5; 6) \cup (9; 10]$. --- **г)** $\frac{\sqrt{6 + x - x^2}}{2x + 5} \ge \frac{\sqrt{6 + x - x^2}}{x + 4}$ Перенесем все члены в левую часть: $$\sqrt{6 + x - x^2} \left( \frac{1}{2x + 5} - \frac{1}{x + 4} \right) \ge 0$$ ОДЗ: $$6 + x - x^2 \ge 0 \iff x^2 - x - 6 \le 0 \iff (x - 3)(x + 2) \le 0 \implies x \in [-2; 3]$$ Знаменатели $2x + 5 \neq 0$ ($x \neq -2{,}5$) и $x + 4 \neq 0$ ($x \neq -4$) отличны от нуля на всем отрезке $[-2; 3]$. 1) Корень обращается в ноль: $\sqrt{6 + x - x^2} = 0 \implies x = -2$ или $x = 3$. Данные точки являются решениями. 2) При $x \in (-2; 3)$ разделим неравенство на положительную величину $\sqrt{6 + x - x^2}$: $$\frac{1}{2x + 5} - \frac{1}{x + 4} \ge 0 \iff \frac{(x + 4) - (2x + 5)}{(2x + 5)(x + 4)} \ge 0 \iff \frac{-x - 1}{(2x + 5)(x + 4)} \ge 0$$ $$\frac{x + 1}{(2x + 5)(x + 4)} \le 0$$ При $x \in (-2; 3)$ знаменатель $(2x + 5)(x + 4) > 0$, поэтому: $$x + 1 \le 0 \implies x \le -1$$ С учетом интервала: $x \in (-2; -1]$. Объединяя с точками $x = -2$ и $x = 3$, получаем: $x \in [-2; -1] \cup \{3\}$. Ответ: $[-2; -1] \cup \{3\}$. --- **д)** $\frac{\sqrt{x^2 - 1} + 1}{x} \ge 1$ ОДЗ: $x^2 - 1 \ge 0 \implies x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$ (при этом $x \neq 0$). 1) При $x \le -1$: Знаменатель $x < 0$, а числитель $\sqrt{x^2 - 1} + 1 > 0$. Значит, левая часть отрицательна и не может быть $\ge 1$. Решений нет. 2) При $x \ge 1$: Знаменатель $x > 0$. Умножим неравенство на $x$: $$\sqrt{x^2 - 1} + 1 \ge x \iff \sqrt{x^2 - 1} \ge x - 1$$ Так как при $x \ge 1$ обе части неотрицательны, возведем в квадрат: $$x^2 - 1 \ge (x - 1)^2 \iff x^2 - 1 \ge x^2 - 2x + 1 \iff 2x \ge 2 \iff x \ge 1$$ Условие выполняется для всех $x \ge 1$. Ответ: $[1; +\infty)$. --- **a)** $\sqrt{x^2 + 3x - 4} > x + 2$ Неравенство равносильно совокупности двух систем: $$\left[ \begin{gathered} \begin{cases} x^2 + 3x - 4 \ge 0 \\ x + 2 < 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ x^2 + 3x - 4 > (x + 2)^2 \end{cases} \end{gathered} \right.$$ 1) Первая система: * $x^2 + 3x - 4 \ge 0 \iff (x + 4)(x - 1) \ge 0 \implies x \in (-\infty; -4] \cup [1; +\infty)$; * $x < -2$. Пересечение: $x \in (-\infty; -4]$. 2) Вторая система: * $x \ge -2$; * $x^2 + 3x - 4 > x^2 + 4x + 4 \implies -x > 8 \implies x < -8$. Пересечение условий $x \ge -2$ и $x < -8$ пусто ($\varnothing$). Ответ: $(-\infty; -4]$. --- **б)** $\sqrt{x^2 - x - 2} < x - 1$ Неравенство равносильно системе: $$\begin{cases} x^2 - x - 2 \ge 0 \\ x - 1 > 0 \\ x^2 - x - 2 < (x - 1)^2 \end{cases}$$ 1) $x^2 - x - 2 \ge 0 \iff (x - 2)(x + 1) \ge 0 \implies x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$; 2) $x > 1$. Пересечение первых двух условий дает: $x \in [2; +\infty)$. 3) Возведем в квадрат: $$x^2 - x - 2 < x^2 - 2x + 1 \iff x < 3$$ Пересекая с лучом $[2; +\infty)$, получаем: $x \in [2; 3)$. Ответ: $[2; 3)$. --- **в)** $\sqrt{2x - 1} + \sqrt{x + 15} < 5$ ОДЗ: $$\begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ x + 15 \ge 0 \end{cases} \implies x \ge 0{,}5$$ Так как обе части неравенства положительны, возведем в квадрат: $$2x - 1 + x + 15 + 2\sqrt{(2x - 1)(x + 15)} < 25$$ $$3x + 14 + 2\sqrt{2x^2 + 29x - 15} < 25 \iff 2\sqrt{2x^2 + 29x - 15} < 11 - 3x$$ Поскольку левая часть неотрицательна, должно выполняться: $11 - 3x > 0 \implies x < \frac{11}{3}$. Возведем в квадрат при $0{,}5 \le x < \frac{11}{3}$: $$4(2x^2 + 29x - 15) < (11 - 3x)^2$$ $$8x^2 + 116x - 60 < 121 - 66x + 9x^2 \iff x^2 - 182x + 181 > 0$$ $$(x - 1)(x - 181) > 0 \implies x \in (-\infty; 1) \cup (181; +\infty)$$ С учетом условия $0{,}5 \le x < \frac{11}{3}$ получаем: $x \in [0{,}5; 1)$. Ответ: $[0{,}5; 1)$. --- **г)** $\frac{\sqrt{3 - 2x - x^2}}{x + 8} \le \frac{\sqrt{3 - 2x - x^2}}{2x + 1}$ Перенесем члены в одну часть: $$\sqrt{3 - 2x - x^2} \left( \frac{1}{x + 8} - \frac{1}{2x + 1} \right) \le 0$$ ОДЗ: $$3 - 2x - x^2 \ge 0 \iff x^2 + 2x - 3 \le 0 \iff (x + 3)(x - 1) \le 0 \implies x \in [-3; 1]$$ Знаменатели не должны равняться нулю: $x \neq -8$ и $x \neq -0{,}5$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-3; -0{,}5) \cup (-0{,}5; 1]$. 1) Точки, где корень равен нулю: $x = -3$ и $x = 1$. Они обращают неравенство в $0 \le 0$ и входят в решение. 2) При $x \in (-3; -0{,}5) \cup (-0{,}5; 1)$ разделим на $\sqrt{3 - 2x - x^2} > 0$: $$\frac{1}{x + 8} - \frac{1}{2x + 1} \le 0 \iff \frac{(2x + 1) - (x + 8)}{(x + 8)(2x + 1)} \le 0 \iff \frac{x - 7}{(x + 8)(2x + 1)} \le 0$$ На отрезке $[-3; 1]$ имеем $x + 8 > 0$ и $x - 7 < 0$. Значит, дробь меньше или равна нулю, когда знаменатель положителен: $$2x + 1 > 0 \implies x > -0{,}5$$ С учетом ОДЗ: $x \in (-0{,}5; 1)$. Объединяя с точками $x = -3$ и $x = 1$, получаем: $x \in \{-3\} \cup (-0{,}5; 1]$. Ответ: $\{-3\} \cup (-0{,}5; 1]$. --- **д)** $\frac{1 - \sqrt{1 - 4x^2}}{x} \le 3$ ОДЗ: $$1 - 4x^2 \ge 0 \iff x^2 \le \frac{1}{4} \iff x \in [-0{,}5; 0{,}5], \quad x \neq 0$$ Домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение $(1 + \sqrt{1 - 4x^2}) > 0$: $$\frac{1 - (1 - 4x^2)}{x(1 + \sqrt{1 - 4x^2})} = \frac{4x^2}{x(1 + \sqrt{1 - 4x^2})} = \frac{4x}{1 + \sqrt{1 - 4x^2}}$$ Неравенство принимает вид: $$\frac{4x}{1 + \sqrt{1 - 4x^2}} \le 3$$ 1) Если $x \in [-0{,}5; 0)$, то числитель $4x < 0$, а знаменатель положителен. Левая часть отрицательна, правая равна $3 > 0$. Неравенство справедливо для всех $x \in [-0{,}5; 0)$. 2) Если $x \in (0; 0{,}5]$, то умножим на знаменатель: $$4x \le 3 + 3\sqrt{1 - 4x^2} \iff 4x - 3 \le 3\sqrt{1 - 4x^2}$$ При $x \le 0{,}5$ левая часть $4x - 3 \le 4 \cdot 0{,}5 - 3 = -1 < 0$, в то время как правая часть неотрицательна. Неравенство выполняется для всех $x \in (0; 0{,}5]$. Следовательно, решением является вся ОДЗ. Ответ: $[-0{,}5; 0) \cup (0; 0{,}5]$. --- ### 3. Решите систему уравнений, используя в решении указанный способ: #### а) введение новых переменных: **Система 1:** $$\begin{cases} \sqrt[3]{x + y + 4} + \sqrt[3]{y + 7} = 4 \\ x + 2y = 5 \end{cases}$$ Пусть $u = \sqrt[3]{x + y + 4}$, $v = \sqrt[3]{y + 7}$. Тогда: $$u^3 + v^3 = (x + y + 4) + (y + 7) = x + 2y + 11$$ Подставим $x + 2y = 5$: $$u^3 + v^3 = 5 + 11 = 16$$ Получаем систему: $$\begin{cases} u + v = 4 \\ u^3 + v^3 = 16 \end{cases}$$ Используем формулу $u^3 + v^3 = (u + v)((u + v)^2 - 3uv)$: $$16 = 4(4^2 - 3uv) \implies 4 = 16 - 3uv \implies 3uv = 12 \implies uv = 4$$ Имеем систему: $$\begin{cases} u + v = 4 \\ uv = 4 \end{cases}$$ По теореме Виета $u$ и $v$ — корни уравнения $t^2 - 4t + 4 = 0 \implies (t - 2)^2 = 0 \implies t = 2$. Следовательно, $u = 2, v = 2$. Возвращаемся к исходным переменным: $$\begin{cases} \sqrt[3]{y + 7} = 2 \implies y + 7 = 8 \implies y = 1 \\ \sqrt[3]{x + y + 4} = 2 \implies x + 1 + 4 = 8 \implies x = 3 \end{cases}$$ Ответ: $(3; 1)$. --- **Система 2:** $$\begin{cases} \sqrt[3]{x + 2y} + \sqrt[3]{x - y + 2} = 3 \\ 2x + y = 7 \end{cases}$$ Пусть $u = \sqrt[3]{x + 2y}$, $v = \sqrt[3]{x - y + 2}$. Тогда: $$u^3 + v^3 = (x + 2y) + (x - y + 2) = 2x + y + 2$$ Подставим $2x + y = 7$: $$u^3 + v^3 = 7 + 2 = 9$$ Получаем систему: $$\begin{cases} u + v = 3 \\ u^3 + v^3 = 9 \end{cases}$$ Преобразуем сумму кубов: $$u^3 + v^3 = (u + v)((u + v)^2 - 3uv) \implies 9 = 3(9 - 3uv) \implies 3 = 9 - 3uv \implies uv = 2$$ Имеем систему: $$\begin{cases} u + v = 3 \\ uv = 2 \end{cases}$$ Корни уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$ равны $t = 1$ и $t = 2$. Получаем два случая: 1) $\begin{cases} u = 1 \\ v = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x + 2y = 1 \\ x - y + 2 = 8 \end{cases} \iff \begin{cases} x + 2y = 1 \\ x - y = 6 \end{cases}$ Вычитая второе уравнение из первого, получаем $3y = -5 \implies y = -\frac{5}{3}$. Тогда $x = 6 + y = 6 - \frac{5}{3} = \frac{13}{3}$. 2) $\begin{cases} u = 2 \\ v = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x + 2y = 8 \\ x - y + 2 = 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x + 2y = 8 \\ x - y = -1 \end{cases}$ Вычитая второе уравнение из первого, получаем $3y = 9 \implies y = 3$. Тогда $x = -1 + y = 2$. Ответ: $\left(\frac{13}{3}; -\frac{5}{3}\right), (2; 3)$. --- #### б) умножение уравнений системы: **Система 1:** $$\begin{cases} \sqrt{\frac{108x}{5y}} = \sqrt{x + y} + \sqrt{x - y} \\ \sqrt{\frac{20y}{3x}} = \sqrt{x + y} - \sqrt{x - y} \end{cases}$$ ОДЗ: $\frac{x}{y} > 0$, $x + y \ge 0$, $x - y \ge 0$. Перемножим уравнения системы: $$\sqrt{\frac{108x}{5y}} \cdot \sqrt{\frac{20y}{3x}} = (\sqrt{x + y} + \sqrt{x - y})(\sqrt{x + y} - \sqrt{x - y})$$ $$\sqrt{\frac{108 \cdot 20}{5 \cdot 3}} = (x + y) - (x - y)$$ $$\sqrt{144} = 2y \implies 2y = 12 \implies y = 6$$ Сложим исходные уравнения системы: $$2\sqrt{x + y} = \sqrt{\frac{108x}{30}} + \sqrt{\frac{120}{3x}} = \sqrt{\frac{18x}{5}} + \sqrt{\frac{40}{x}}$$ Вычтем второе уравнение из первого: $$2\sqrt{x - y} = \sqrt{\frac{18x}{5}} - \sqrt{\frac{40}{x}}$$ Возведем оба полученных равенства в квадрат: $$4(x + y) = \frac{18x}{5} + \frac{40}{x} + 24$$ $$4(x - y) = \frac{18x}{5} + \frac{40}{x} - 24$$ Сложим эти уравнения: $$8x = \frac{36x}{5} + \frac{80}{x} \iff 8x - \frac{36x}{5} = \frac{80}{x} \iff \frac{4x}{5} = \frac{80}{x}$$ $$4x^2 = 400 \implies x^2 = 100$$ Так как $\frac{x}{y} > 0$ и $y = 6 > 0$, выбираем $x = 10$. Проверка подтверждает, что пара $(10; 6)$ удовлетворяет всем уравнениям системы. Ответ: $(10; 6)$. --- **Система 2:** $$\begin{cases} \sqrt{\frac{16x}{5y}} = \sqrt{x + y} - \sqrt{x - y} \\ \sqrt{\frac{20y}{x}} = \sqrt{x + y} + \sqrt{x - y} \end{cases}$$ ОДЗ: $\frac{x}{y} > 0$, $x + y \ge 0$, $x - y \ge 0$. Перемножим уравнения системы: $$\sqrt{\frac{16x}{5y}} \cdot \sqrt{\frac{20y}{x}} = (\sqrt{x + y} - \sqrt{x - y})(\sqrt{x + y} + \sqrt{x - y})$$ $$\sqrt{\frac{16 \cdot 20}{5}} = (x + y) - (x - y)$$ $$\sqrt{64} = 2y \implies 2y = 8 \implies y = 4$$ Сложим исходные уравнения системы: $$2\sqrt{x + y} = \sqrt{\frac{16x}{20}} + \sqrt{\frac{80}{x}} = \sqrt{\frac{4x}{5}} + \sqrt{\frac{80}{x}}$$ Вычтем первое уравнение из второго: $$2\sqrt{x - y} = \sqrt{\frac{80}{x}} - \sqrt{\frac{4x}{5}}$$ Возведем оба равенства в квадрат: $$4(x + y) = \frac{4x}{5} + \frac{80}{x} + 16$$ $$4(x - y) = \frac{4x}{5} + \frac{80}{x} - 16$$ Сложим эти уравнения: $$8x = \frac{8x}{5} + \frac{160}{x} \iff \frac{32x}{5} = \frac{160}{x} \implies 32x^2 = 800 \implies x^2 = 25$$ Так как $y = 4 > 0$ и $\frac{x}{y} > 0$, то $x = 5$. Пара $(5; 4)$ удовлетворяет условиям системы. Ответ: $(5; 4)$. --- #### в) способ подстановки: **Система 1:** $$\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 10 \\ \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} = 4 \end{cases}$$ ОДЗ: $x \ge 0, y \ge 0$. Пусть $u = \sqrt[4]{x} \ge 0$, $v = \sqrt[4]{y} \ge 0$. Тогда система примет вид: $$\begin{cases} u^2 + v^2 = 10 \\ u + v = 4 \end{cases}$$ Выразим $v$ через $u$: $v = 4 - u$. Подставим в первое уравнение: $$u^2 + (4 - u)^2 = 10$$ $$u^2 + 16 - 8u + u^2 = 10 \iff 2u^2 - 8u + 6 = 0 \iff u^2 - 4u + 3 = 0$$ По теореме Виета корни: $u_1 = 1$, $u_2 = 3$. 1) Если $u = 1$, то $v = 4 - 1 = 3$: $$\begin{cases} \sqrt[4]{x} = 1 \implies x = 1 \\ \sqrt[4]{y} = 3 \implies y = 3^4 = 81 \end{cases}$$ 2) Если $u = 3$, то $v = 4 - 3 = 1$: $$\begin{cases} \sqrt[4]{x} = 3 \implies x = 3^4 = 81 \\ \sqrt[4]{y} = 1 \implies y = 1 \end{cases}$$ Ответ: $(1; 81), (81; 1)$. --- **Система 2:** $$\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 5 \\ \sqrt[6]{x} - \sqrt[6]{y} = 1 \end{cases}$$ ОДЗ: $x \ge 0, y \ge 0$. Пусть $u = \sqrt[6]{x} \ge 0$, $v = \sqrt[6]{y} \ge 0$. Тогда $\sqrt[3]{x} = u^2$, $\sqrt[3]{y} = v^2$. Система принимает вид: $$\begin{cases} u^2 + v^2 = 5 \\ u - v = 1 \end{cases}$$ Выразим $u$ через $v$: $u = v + 1$. Подставим в первое уравнение: $$(v + 1)^2 + v^2 = 5$$ $$v^2 + 2v + 1 + v^2 = 5 \iff 2v^2 + 2v - 4 = 0 \iff v^2 + v - 2 = 0$$ По теореме Виета корни: $v_1 = 1$, $v_2 = -2$. Так как $v \ge 0$, подходит только $v = 1$. Тогда $u = 1 + 1 = 2$. Возвращаемся к переменным $x$ и $y$: $$\begin{cases} \sqrt[6]{x} = 2 \implies x = 2^6 = 64 \\ \sqrt[6]{y} = 1 \implies y = 1^6 = 1 \end{cases}$$ Ответ: $(64; 1)$.