ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-22. вариант - А2

### 1. Решите систему уравнений: **а)** $$ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1, \\ \sqrt{xy} = 2. \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x \ge 0$, $y \ge 0$. Так как $x \ge 0$ и $y \ge 0$, то $\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$. Введем замену переменных: пусть $u = \sqrt{x}$ и $v = \sqrt{y}$, где $u \ge 0$, $v \ge 0$. Получаем систему: $$ \begin{cases} u - v = 1, \\ u \cdot v = 2. \end{cases} $$ Выразим $u$ из первого уравнения: $$ u = v + 1. $$ Подставим во второе уравнение: $$ (v + 1)v = 2, $$ $$ v^2 + v - 2 = 0. $$ По теореме Виета корни уравнения: $$ v_1 = 1, \quad v_2 = -2. $$ Условию $v \ge 0$ удовлетворяет только $v = 1$. Найдем $u$: $$ u = 1 + 1 = 2. $$ Вернемся к исходным переменным: $$ \sqrt{x} = 2 \implies x = 2^2 = 4, $$ $$ \sqrt{y} = 1 \implies y = 1^2 = 1. $$ Пара $(4; 1)$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $(4; 1)$. --- **б)** $$ \begin{cases} \sqrt[3]{x - y + 8} = 2, \\ \sqrt{3x - 2y + 6} = y. \end{cases} $$ Возведем обе части первого уравнения в куб: $$ x - y + 8 = 2^3, $$ $$ x - y + 8 = 8, $$ $$ x - y = 0 \implies x = y. $$ Подставим $x = y$ во второе уравнение: $$ \sqrt{3y - 2y + 6} = y, $$ $$ \sqrt{y + 6} = y. $$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} y \ge 0, \\ y + 6 = y^2. \end{cases} $$ Решим квадратное уравнение: $$ y^2 - y - 6 = 0. $$ По теореме Виета: $$ y_1 = 3, \quad y_2 = -2. $$ Условию $y \ge 0$ удовлетворяет только $y = 3$. Тогда $x = y = 3$. Ответ: $(3; 3)$. --- ### 2. Решите неравенство: **а)** $$ (x - 5)\sqrt{x + 1} < 0. $$ 1. Область допустимых значений: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$ x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1. $$ 2. Арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения ($\sqrt{x + 1} \ge 0$). При $x = -1$ левая часть обращается в 0, что не удовлетворяет строгому неравенству ($0 < 0$ — неверно). Значит, $x \ne -1$. 3. При $x > -1$ множитель $\sqrt{x + 1} > 0$. Разделив обе части неравенства на положительное выражение $\sqrt{x + 1}$, получаем: $$ x - 5 < 0 \implies x < 5. $$ 4. Объединяя с условием $x > -1$, получаем: $$ -1 < x < 5. $$ Ответ: $(-1; 5)$. --- **б)** $$ \sqrt{3x + 1} \le 1. $$ Неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} 3x + 1 \ge 0, \\ 3x + 1 \le 1^2. \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы: $$ \begin{cases} 3x \ge -1, \\ 3x \le 0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \ge -\frac{1}{3}, \\ x \le 0. \end{cases} $$ Таким образом, $x \in \left[-\frac{1}{3}; 0\right]$. Ответ: $\left[-\frac{1}{3}; 0\right]$. --- **в)** $$ \sqrt{2 + x - x^2} > -2. $$ По определению арифметического квадратного корня, для всех допустимых значений переменной выполняется: $$ \sqrt{2 + x - x^2} \ge 0. $$ Так как любое неотрицательное число строго больше любого отрицательного числа (в частности, $-2$), данное неравенство верно при всех $x$, при которых выражение под знаком корня имеет смысл. Найдем ОДЗ: $$ 2 + x - x^2 \ge 0. $$ Умножим обе части на $-1$, меняя знак неравенства: $$ x^2 - x - 2 \le 0. $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 2 = 0$: $$ x_1 = -1, \quad x_2 = 2. $$ Разложим на множители: $$ (x + 1)(x - 2) \le 0. $$ Решением квадратного неравенства является отрезок: $$ -1 \le x \le 2. $$ Ответ: $[-1; 2]$.