ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-21. вариант - А1

### Вариант А1 #### 1. Решите уравнение: **а)** $\sqrt{x^2 - 4x} = \sqrt{6 - 3x}$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 - 4x = 6 - 3x, \\ 6 - 3x \ge 0 \end{cases} $$ Решим уравнение системы: $$ x^2 - 4x + 3x - 6 = 0 $$ $$ x^2 - x - 6 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 3$, $x_2 = -2$. Проверим условие $6 - 3x \ge 0 \iff 3x \le 6 \iff x \le 2$: - при $x = 3$: неравенство $3 \le 2$ неверно, следовательно, $x = 3$ — посторонний корень; - при $x = -2$: неравенство $-2 \le 2$ верно. Ответ: $-2$. **б)** $\sqrt{3x + 1} = x - 1$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} 3x + 1 = (x - 1)^2, \\ x - 1 \ge 0 \end{cases} $$ Преобразуем уравнение: $$ 3x + 1 = x^2 - 2x + 1 $$ $$ x^2 - 5x = 0 $$ $$ x(x - 5) = 0 $$ Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = 5$. Проверим условие $x \ge 1$: - корень $x = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 1$ (посторонний корень); - корень $x = 5$ удовлетворяет условию $x \ge 1$. Ответ: $5$. **в)** $2\sqrt{x} - \sqrt[4]{x} = 1$ Область допустимых значений: $x \ge 0$. Пусть $\sqrt[4]{x} = t$, где $t \ge 0$. Тогда $\sqrt{x} = t^2$. Получаем квадратное уравнение: $$ 2t^2 - t - 1 = 0 $$ $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 $$ $$ t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 $$ $$ t_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} $$ Так как $t \ge 0$, значение $t_2 = -\frac{1}{2}$ не подходит. Возвращаемся к замене: $$ \sqrt[4]{x} = 1 $$ $$ x = 1^4 $$ $$ x = 1 $$ Ответ: $1$. **г)** $\sqrt{x} + \sqrt{x - 3} = 3$ Область допустимых значений: $$ \begin{cases} x \ge 0, \\ x - 3 \ge 0 \end{cases} \iff x \ge 3 $$ Уединим один из радикалов: $$ \sqrt{x - 3} = 3 - \sqrt{x} $$ Левая часть неотрицательна, значит, $3 - \sqrt{x} \ge 0 \iff \sqrt{x} \le 3 \iff x \le 9$. С учетом ОДЗ: $x \in [3; 9]$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ x - 3 = (3 - \sqrt{x})^2 $$ $$ x - 3 = 9 - 6\sqrt{x} + x $$ $$ -3 = 9 - 6\sqrt{x} $$ $$ 6\sqrt{x} = 12 $$ $$ \sqrt{x} = 2 $$ $$ x = 4 $$ Корень $x = 4$ принадлежит отрезку $[3; 9]$. Ответ: $4$. --- ### Вариант А2 #### 1. Решите уравнение: **а)** $\sqrt{x^2 - 10} = \sqrt{-3x}$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 - 10 = -3x, \\ -3x \ge 0 \end{cases} $$ Решим уравнение системы: $$ x^2 + 3x - 10 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = -5$, $x_2 = 2$. Проверим условие $-3x \ge 0 \iff x \le 0$: - при $x = 2$: условие $2 \le 0$ не выполняется ($x = 2$ — посторонний корень); - при $x = -5$: условие $-5 \le 0$ выполняется. Ответ: $-5$. **б)** $\sqrt{2x + 4} = x - 2$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} 2x + 4 = (x - 2)^2, \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} $$ Преобразуем уравнение: $$ 2x + 4 = x^2 - 4x + 4 $$ $$ x^2 - 6x = 0 $$ $$ x(x - 6) = 0 $$ Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = 6$. Проверим условие $x \ge 2$: - значение $x = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$ (посторонний корень); - значение $x = 6$ удовлетворяет условию $x \ge 2$. Ответ: $6$. **в)** $3\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[6]{x} = 5$ Область допустимых значений: $x \ge 0$ (так как корень шестой степени — четной степени). Пусть $\sqrt[6]{x} = t$, где $t \ge 0$. Тогда $\sqrt[3]{x} = t^2$. Получаем уравнение: $$ 3t^2 + 2t - 5 = 0 $$ $$ D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 $$ $$ t_1 = \frac{-2 + 8}{6} = 1 $$ $$ t_2 = \frac{-2 - 8}{6} = -\frac{5}{3} $$ Так как $t \ge 0$, корень $t_2 = -\frac{5}{3}$ не подходит. Возвращаемся к замене: $$ \sqrt[6]{x} = 1 $$ $$ x = 1^6 $$ $$ x = 1 $$ Ответ: $1$. **г)** $\sqrt{x} - \sqrt{x - 5} = 1$ Область допустимых значений: $$ \begin{cases} x \ge 0, \\ x - 5 \ge 0 \end{cases} \iff x \ge 5 $$ Уединим радикал: $$ \sqrt{x} = 1 + \sqrt{x - 5} $$ Так как обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат: $$ x = (1 + \sqrt{x - 5})^2 $$ $$ x = 1 + 2\sqrt{x - 5} + x - 5 $$ $$ x = x - 4 + 2\sqrt{x - 5} $$ $$ 2\sqrt{x - 5} = 4 $$ $$ \sqrt{x - 5} = 2 $$ Возведем обе части в квадрат: $$ x - 5 = 4 $$ $$ x = 9 $$ Значение $x = 9$ удовлетворяет ОДЗ ($9 \ge 5$). Ответ: $9$. --- #### 2. Определите, при каких значениях $x$ функция $y = \sqrt[3]{x^2 - 1}$ принимает значение, равное 2. Приравняем значение функции к 2: $$ \sqrt[3]{x^2 - 1} = 2 $$ Возведем обе части уравнения в куб: $$ x^2 - 1 = 2^3 $$ $$ x^2 - 1 = 8 $$ $$ x^2 = 9 $$ $$ x = \pm 3 $$ Ответ: $-3;\ 3$. --- #### 3. Определите, при каких значениях $x$ функция $y = \sqrt[3]{x^2 + 2}$ принимает значение, равное 3. Приравняем значение функции к 3: $$ \sqrt[3]{x^2 + 2} = 3 $$ Возведем обе части уравнения в куб: $$ x^2 + 2 = 3^3 $$ $$ x^2 + 2 = 27 $$ $$ x^2 = 25 $$ $$ x = \pm 5 $$ Ответ: $-5;\ 5$.