ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-20. вариант - А2

### Самостоятельная работа С-20. Вариант А2 --- #### 1. Вычислите: **а)** $\sqrt[5]{8} \cdot \sqrt[5]{-4} + \sqrt[6]{(-3)^6}$ 1. Применим свойство произведения корней одной степени: $$\sqrt[5]{8} \cdot \sqrt[5]{-4} = \sqrt[5]{8 \cdot (-4)} = \sqrt[5]{-32} = -2$$ 2. Для корня чётной степени применим свойство $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$: $$\sqrt[6]{(-3)^6} = |-3| = 3$$ 3. Найдём сумму: $$-2 + 3 = 1$$ Ответ: $1$ --- **б)** $\sqrt[9]{6 + \sqrt{35}} \cdot \sqrt[9]{6 - \sqrt{35}}$ 1. Занесём множители под общий корень и воспользуемся формулой разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$: $$\sqrt[9]{(6 + \sqrt{35})(6 - \sqrt{35})} = \sqrt[9]{6^2 - (\sqrt{35})^2} = \sqrt[9]{36 - 35} = \sqrt[9]{1} = 1$$ Ответ: $1$ --- #### 2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: **а)** $\frac{5}{\sqrt[5]{5}}$ Умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt[5]{5^4}$: $$\frac{5}{\sqrt[5]{5}} = \frac{5 \cdot \sqrt[5]{5^4}}{\sqrt[5]{5} \cdot \sqrt[5]{5^4}} = \frac{5\sqrt[5]{625}}{\sqrt[5]{5^5}} = \frac{5\sqrt[5]{625}}{5} = \sqrt[5]{625}$$ Ответ: $\sqrt[5]{625}$ --- **б)** $\frac{4}{\sqrt{3} - 1}$ Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение $(\sqrt{3} + 1)$: $$\frac{4}{\sqrt{3} - 1} = \frac{4(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{4(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{4(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{4(\sqrt{3} + 1)}{2} = 2(\sqrt{3} + 1) = 2\sqrt{3} + 2$$ Ответ: $2\sqrt{3} + 2$ --- #### 3. Упростите выражение: **а)** $2\sqrt[20]{a^2} - \sqrt[5]{\sqrt[4]{a}}$ Область допустимых значений: $a \ge 0$. 1. Сократим показатели корня и подкоренного выражения в первом слагаемом: $$\sqrt[20]{a^2} = \sqrt[10]{a}$$ 2. Применим свойство корня из корня $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$ ко второму слагаемому: $$\sqrt[5]{\sqrt[4]{a}} = \sqrt[5 \cdot 4]{a} = \sqrt[20]{a}$$ 3. Получаем: $$2\sqrt[20]{a^2} - \sqrt[5]{\sqrt[4]{a}} = 2\sqrt[10]{a} - \sqrt[20]{a}$$ Ответ: $2\sqrt[10]{a} - \sqrt[20]{a}$ --- **б)** $2a\sqrt[3]{a^4} \cdot 3\sqrt[3]{a^2}$ 1. Перемножим числовые коэффициенты и переменные перед корнями: $$2a \cdot 3 = 6a$$ 2. Перемножим корни одинаковой степени: $$\sqrt[3]{a^4} \cdot \sqrt[3]{a^2} = \sqrt[3]{a^4 \cdot a^2} = \sqrt[3]{a^6} = a^{\frac{6}{3}} = a^2$$ 3. Найдём общее произведение: $$6a \cdot a^2 = 6a^3$$ Ответ: $6a^3$ --- #### 4. **а)** Вынесите множитель из-под знака корня ($x > 0$, $y > 0$): $$\sqrt[4]{81x^5y^9}$$ Представим множители под корнем в виде степеней с показателем $4$: $$\sqrt[4]{81x^5y^9} = \sqrt[4]{3^4 \cdot x^4 \cdot x \cdot (y^2)^4 \cdot y} = \sqrt[4]{(3xy^2)^4 \cdot xy} = 3xy^2\sqrt[4]{xy}$$ Ответ: $3xy^2\sqrt[4]{xy}$ --- **б)** Внесите множитель под знак корня ($x > 0$): $$4x^2\sqrt[3]{x}$$ Возведём множитель $4x^2$ в третью степень и внесем под знак корня: $$4x^2\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{(4x^2)^3 \cdot x} = \sqrt[3]{64x^6 \cdot x} = \sqrt[3]{64x^7}$$ Ответ: $\sqrt[3]{64x^7}$ --- #### 5. Упростите выражение и найдите его значение при $a = 3$: $$\sqrt{(\sqrt{a} - 1)(1 + \sqrt{a}) - 2(\sqrt{a} - 1)}$$ 1. Упростим подкоренное выражение: $$(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1) - 2(\sqrt{a} - 1) = ((\sqrt{a})^2 - 1^2) - 2\sqrt{a} + 2 = a - 1 - 2\sqrt{a} + 2 = a - 2\sqrt{a} + 1$$ 2. Свернём полученное выражение по формуле квадрата разности $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$: $$a - 2\sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a} - 1)^2$$ 3. Извлечём квадратный корень: $$\sqrt{(\sqrt{a} - 1)^2} = |\sqrt{a} - 1|$$ 4. Подставим значение $a = 3$: $$|\sqrt{3} - 1|$$ Так как $3 > 1$, то $\sqrt{3} > 1$, следовательно, $\sqrt{3} - 1 > 0$. Раскрываем модуль: $$|\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1$$ Ответ: выражение равно $|\sqrt{a} - 1|$; при $a = 3$ значение равно $\sqrt{3} - 1$.