ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-17. вариант - 2

### 1. Решите систему уравнений **а)** $$ \begin{cases} x - y = \frac{\pi}{3}, \\ \cos^2 x - \cos^2 y = -\frac{3}{4} \end{cases} $$ Преобразуем второе уравнение системы, применив формулу понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$: $$ \frac{1 + \cos 2x}{2} - \frac{1 + \cos 2y}{2} = -\frac{3}{4} $$ $$ \frac{\cos 2x - \cos 2y}{2} = -\frac{3}{4} $$ Преобразуем разность косинусов в произведение по формуле $\cos 2x - \cos 2y = -2\sin(x+y)\sin(x-y)$: $$ -\sin(x+y)\sin(x-y) = -\frac{3}{4} $$ Подставим $x - y = \frac{\pi}{3}$: $$ -\sin(x+y) \cdot \sin\frac{\pi}{3} = -\frac{3}{4} $$ Так как $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $$ -\sin(x+y) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3}{4} \implies \sin(x+y) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Рассмотрим два случая: 1) $x + y = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. Сложим и вычтем с уравнением $x - y = \frac{\pi}{3}$: $$ 2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi k $$ $$ 2y = 2\pi k \implies y = \pi k $$ 2) $x + y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. Сложим и вычтем с уравнением $x - y = \frac{\pi}{3}$: $$ 2x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k $$ $$ 2y = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies y = \frac{\pi}{6} + \pi k $$ Ответ: $\left(\frac{\pi}{3} + \pi k;\, \pi k\right)$, $\left(\frac{\pi}{2} + \pi k;\, \frac{\pi}{6} + \pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **b)** $$ \begin{cases} x - y = \frac{\pi}{2}, \\ \cos 2x + 5\cos y = 3 \end{cases} $$ Выразим $x$ из первого уравнения: $x = y + \frac{\pi}{2}$. Тогда $2x = 2y + \pi$. Подставим во второе уравнение: $$ \cos(2y + \pi) + 5\cos y = 3 $$ Используя формулу приведения $\cos(2y + \pi) = -\cos 2y$: $$ -\cos 2y + 5\cos y = 3 $$ Выразим $\cos 2y$ через $\cos y$: $\cos 2y = 2\cos^2 y - 1$: $$ -(2\cos^2 y - 1) + 5\cos y - 3 = 0 $$ $$ -2\cos^2 y + 5\cos y - 2 = 0 $$ $$ 2\cos^2 y - 5\cos y + 2 = 0 $$ Решим квадратное уравнение относительно $\cos y$: $$ D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 $$ $$ \cos y = \frac{5 \pm 3}{4} \implies \cos y = 2 \quad \text{или} \quad \cos y = \frac{1}{2} $$ Уравнение $\cos y = 2$ не имеет решений, так как $|\cos y| \le 1$. Из уравнения $\cos y = \frac{1}{2}$ получаем: $$ y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Найдем соответствующие значения $x = y + \frac{\pi}{2}$: 1) Если $y = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, то $x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$. 2) Если $y = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, то $x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$. Ответ: $\left(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k;\, \frac{\pi}{3} + 2\pi k\right)$, $\left(\frac{\pi}{6} + 2\pi k;\, -\frac{\pi}{3} + 2\pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **c)** $$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}, \\ \sin^2 x + \sin^2 y = 1 \end{cases} $$ Понизим степень во втором уравнении: $$ \frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{1 - \cos 2y}{2} = 1 $$ $$ 2 - (\cos 2x + \cos 2y) = 2 \implies \cos 2x + \cos 2y = 0 $$ Преобразуем сумму косинусов в произведение: $$ 2\cos(x+y)\cos(x-y) = 0 $$ Так как $x + y = \frac{\pi}{4}$, то $\cos(x+y) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \ne 0$. Следовательно: $$ \cos(x-y) = 0 \implies x - y = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Составим систему: $$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}, \\ x - y = \frac{\pi}{2} + \pi k \end{cases} $$ Сложим и вычтем уравнения: $$ 2x = \frac{3\pi}{4} + \pi k \implies x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} $$ $$ 2y = -\frac{\pi}{4} - \pi k \implies y = -\frac{\pi}{8} - \frac{\pi k}{2} $$ Ответ: $\left(\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2};\, -\frac{\pi}{8} - \frac{\pi k}{2}\right), \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **d)** $$ \begin{cases} x - y = \frac{\pi}{6}, \\ \cos x \sin y = \frac{1}{4} \end{cases} $$ Применим формулу преобразования произведения в сумму: $\cos x \sin y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) - \sin(x-y))$: $$ \frac{1}{2}(\sin(x+y) - \sin(x-y)) = \frac{1}{4} $$ $$ \sin(x+y) - \sin(x-y) = \frac{1}{2} $$ Подставим $x - y = \frac{\pi}{6}$: $$ \sin(x+y) - \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $$ $$ \sin(x+y) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \implies \sin(x+y) = 1 $$ Отсюда: $$ x + y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Сложим и вычтем с уравнением $x - y = \frac{\pi}{6}$: $$ 2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi k $$ $$ 2y = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies y = \frac{\pi}{6} + \pi k $$ Ответ: $\left(\frac{\pi}{3} + \pi k;\, \frac{\pi}{6} + \pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **e)** $$ \begin{cases} x - y = \frac{\pi}{2}, \\ \cos 2x + 5\cos y = 3 \end{cases} $$ Решение совпадает с пунктом **b)**: Выразим $x = y + \frac{\pi}{2}$, тогда $\cos 2x = \cos(2y + \pi) = -\cos 2y = 1 - 2\cos^2 y$. $$ 1 - 2\cos^2 y + 5\cos y = 3 \implies 2\cos^2 y - 5\cos y + 2 = 0 $$ Учитывая $|\cos y| \le 1$, получаем $\cos y = \frac{1}{2}$, откуда $y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. Ответ: $\left(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k;\, \frac{\pi}{3} + 2\pi k\right)$, $\left(\frac{\pi}{6} + 2\pi k;\, -\frac{\pi}{3} + 2\pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **f)** $$ \begin{cases} x + y = \frac{5\pi}{2}, \\ \cos 2x + \sin y = 2 \end{cases} $$ Так как для любых действительных аргументов $\cos 2x \le 1$ и $\sin y \le 1$, их сумма может быть равна $2$ тогда и только тогда, когда оба слагаемых одновременно равны $1$: $$ \begin{cases} \cos 2x = 1, \\ \sin y = 1 \end{cases} $$ Из второго уравнения: $$ y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Подставим $y$ в первое уравнение исходной системы: $$ x = \frac{5\pi}{2} - y = \frac{5\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = 2\pi - 2\pi n = 2\pi(1 - n) $$ Проверим значение $\cos 2x$: $$ \cos(2 \cdot 2\pi(1-n)) = \cos(4\pi(1-n)) = 1 \quad \text{— верно для всех } n \in \mathbb{Z}. $$ Положим $k = 1 - n \in \mathbb{Z}$, тогда $x = 2\pi k$, $y = \frac{\pi}{2} + 2\pi(1 - k) = \frac{5\pi}{2} - 2\pi k$. Ответ: $\left(2\pi(1 - n);\, \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z}$. --- **g)** $$ \begin{cases} x + y = \frac{3}{4}, \\ \tan \pi x - \tan \pi y = 2 \end{cases} $$ Область допустимых значений: $\cos \pi x \ne 0$ и $\cos \pi y \ne 0$, то есть $\pi x \ne \frac{\pi}{2} + \pi m$ и $\pi y \ne \frac{\pi}{2} + \pi l$. Преобразуем разность тангенсов: $$ \frac{\sin(\pi x - \pi y)}{\cos \pi x \cos \pi y} = 2 $$ Используя формулу произведения косинусов $2\cos \pi x \cos \pi y = \cos \pi(x+y) + \cos \pi(x-y)$: $$ \frac{2\sin \pi(x-y)}{\cos \pi(x+y) + \cos \pi(x-y)} = 2 \implies \sin \pi(x-y) = \cos \pi(x+y) + \cos \pi(x-y) $$ Так как $x + y = \frac{3}{4}$, то $\cos \pi(x+y) = \cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Обозначим $\theta = \pi(x-y)$: $$ \sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos \theta \implies \cos \theta - \sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Разделим обе части на $\sqrt{2}$: $$ \frac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta = \frac{1}{2} \implies \cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} $$ Отсюда: $$ \theta + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 1) $\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies \theta = \frac{\pi}{12} + 2\pi k$: $$ \pi(x - y) = \frac{\pi}{12} + 2\pi k \implies x - y = \frac{1}{12} + 2k $$ Сложим и вычтем с $x + y = \frac{3}{4} = \frac{9}{12}$: $$ 2x = \frac{10}{12} + 2k \implies x = \frac{5}{12} + k $$ $$ 2y = \frac{8}{12} - 2k \implies y = \frac{1}{3} - k $$ 2) $\theta + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies \theta = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi k$: $$ \pi(x - y) = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi k \implies x - y = -\frac{7}{12} + 2k $$ Сложим и вычтем с $x + y = \frac{9}{12}$: $$ 2x = \frac{2}{12} + 2k \implies x = \frac{1}{12} + k $$ $$ 2y = \frac{16}{12} - 2k \implies y = \frac{2}{3} - k $$ Оба семейства решений удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $\left(\frac{5}{12} + k;\, \frac{1}{3} - k\right)$, $\left(\frac{1}{12} + k;\, \frac{2}{3} - k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$. --- ### 2. Найдите решение системы, используя **а) подстановку и почленное сложение (вычитание) уравнений системы:** *Первая система:* $$ \begin{cases} \cos x \cos y = 0,75, \\ \cot x \cot y = 3 \end{cases} $$ ОДЗ: $\sin x \ne 0$, $\sin y \ne 0$. Так как $\cot x \cot y = \frac{\cos x \cos y}{\sin x \sin y} = 3$, подставим $\cos x \cos y = \frac{3}{4}$: $$ \frac{3/4}{\sin x \sin y} = 3 \implies \sin x \sin y = \frac{1}{4} $$ Получаем систему: $$ \begin{cases} \cos x \cos y = \frac{3}{4}, \\ \sin x \sin y = \frac{1}{4} \end{cases} $$ Сложим уравнения системы: $$ \cos x \cos y + \sin x \sin y = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \implies \cos(x - y) = 1 $$ $$ x - y = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Вычтем второе уравнение из первого: $$ \cos x \cos y - \sin x \sin y = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \implies \cos(x + y) = \frac{1}{2} $$ $$ x + y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Сложим и вычтем полученные равенства: $$ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi(n + k) \implies x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi(n + k) $$ $$ 2y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi(n - k) \implies y = \pm \frac{\pi}{6} + \pi(n - k) $$ Обозначим целые числа $n + k = m$, $n - k = l$ (где $m$ и $l$ имеют одинаковую четность, то есть $m \equiv l \pmod 2$): Ответ: $\left(\pm \frac{\pi}{6} + \pi m;\, \pm \frac{\pi}{6} + \pi l\right)$, где знаки согласованы и $m, l \in \mathbb{Z}, \; m \equiv l \pmod 2$. --- *Вторая система:* $$ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{\sqrt{3}}{4}, \\ \tan x \tan y = 1 \end{cases} $$ ОДЗ: $\cos x \ne 0$, $\cos y \ne 0$. Так как $\tan x \tan y = \frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y} = 1$, то $\cos x \cos y = \sin x \sin y = \frac{\sqrt{3}}{4}$. Сложим уравнения: $$ \cos x \cos y + \sin x \sin y = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} \implies \cos(x - y) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ x - y = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Вычтем уравнения: $$ \cos x \cos y - \sin x \sin y = 0 \implies \cos(x + y) = 0 $$ $$ x + y = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ 1) Если $x - y = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: $$ 2x = \frac{2\pi}{3} + \pi n + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} + \pi k $$ $$ 2y = \frac{\pi}{3} + \pi n - 2\pi k \implies y = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} - \pi k $$ 2) Если $x - y = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$: $$ 2x = \frac{\pi}{3} + \pi n + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} + \pi k $$ $$ 2y = \frac{2\pi}{3} + \pi n - 2\pi k \implies y = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} - \pi k $$ Ответ: $\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} + \pi k;\, \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} - \pi k\right)$, $\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} + \pi k;\, \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} - \pi k\right), \quad n, k \in \mathbb{Z}$. --- **б) разложение на множители и почленное деление уравнений системы:** *Первая система:* $$ \begin{cases} \sin x + \sin y = 1, \\ \cos x - \cos y = \sqrt{3} \end{cases} $$ Преобразуем суммы в произведения: $$ \begin{cases} 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} = 1, \\ -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} = \sqrt{3} \end{cases} $$ Разделим второе уравнение на первое: $$ \frac{-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}}{2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{1} \implies -\tan\frac{x-y}{2} = \sqrt{3} \implies \tan\frac{x-y}{2} = -\sqrt{3} $$ Отсюда: $$ \frac{x-y}{2} = -\frac{\pi}{3} + \pi k \implies x - y = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Тогда $\cos\frac{x-y}{2} = \cos\left(-\frac{\pi}{3} + \pi k\right) = (-1)^k \cos\frac{\pi}{3} = \frac{(-1)^k}{2}$. Подставим в первое уравнение: $$ 2\sin\frac{x+y}{2} \cdot \frac{(-1)^k}{2} = 1 \implies \sin\frac{x+y}{2} = (-1)^k $$ - При четном $k = 2m$: $\sin\frac{x+y}{2} = 1 \implies \frac{x+y}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x + y = \pi + 4\pi n$. Складывая с $x - y = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi m$, получаем: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi(n+m)$, $y = \frac{5\pi}{6} + 2\pi(n-m)$. - При нечетном $k = 2m + 1$: $\sin\frac{x+y}{2} = -1 \implies \frac{x+y}{2} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x + y = -\pi + 4\pi n$. Складывая с $x - y = \frac{4\pi}{3} + 4\pi m$, получаем: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi(n+m)$, $y = -\frac{7\pi}{6} + 2\pi(n-m) = \frac{5\pi}{6} + 2\pi(n-m-1)$. Объединяя оба случая, получаем независимые целочисленные периоды: Ответ: $\left(\frac{\pi}{6} + 2\pi k;\, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\right), \quad k, n \in \mathbb{Z}$. --- *Вторая система:* $$ \begin{cases} \sin x - \sin y = 0,5, \\ \cos x + \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $$ Разложим левые части на множители: $$ \begin{cases} 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2} = \frac{1}{2}, \\ 2\cos\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $$ Разделим первое уравнение на второе: $$ \tan\frac{x-y}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \frac{x-y}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi k \implies x - y = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Тогда $\cos\frac{x-y}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6} + \pi k\right) = (-1)^k \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим во второе уравнение: $$ 2 \cdot (-1)^k \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\frac{x+y}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \cos\frac{x+y}{2} = \frac{(-1)^k}{2} $$ 1) Если $k = 2m$, то $\cos\frac{x+y}{2} = \frac{1}{2} \implies \frac{x+y}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x + y = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$. - При знаке «$+$»: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi(n+m)$, $y = \frac{\pi}{6} + 2\pi(n-m)$. - При знаке «$-$»: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi(n+m)$, $y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(n-m)$. 2) Если $k = 2m + 1$, то $\cos\frac{x+y}{2} = -\frac{1}{2} \implies \frac{x+y}{2} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies x + y = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi n$. Этот случай дает те же серии значений с противоположной четностью разности параметров. Объединяя, получаем две серии решений с произвольными $k, n \in \mathbb{Z}$: Ответ: $\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k;\, \frac{\pi}{6} + 2\pi n\right)$, $\left(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k;\, -\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right), \quad k, n \in \mathbb{Z}$. --- **в) замену переменных:** *Первая система:* $$ \begin{cases} \sin x + \cos y = 1, \\ \cos 2x + \cos 2y = 2 \end{cases} $$ Выразим $\cos 2x$ через $\sin x$, а $\cos 2y$ через $\cos y$: $$ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x, \quad \cos 2y = 2\cos^2 y - 1 $$ Тогда второе уравнение примет вид: $$ (1 - 2\sin^2 x) + (2\cos^2 y - 1) = 2 \implies 2(\cos^2 y - \sin^2 x) = 2 \implies \cos^2 y - \sin^2 x = 1 $$ Пусть $u = \sin x$, $v = \cos y$. Получаем алгебраическую систему: $$ \begin{cases} u + v = 1, \\ v^2 - u^2 = 1 \end{cases} $$ Так как $v^2 - u^2 = (v - u)(v + u) = 1$, и $v + u = 1$, то $v - u = 1$. Сложим и вычтем уравнения: $$ \begin{cases} v + u = 1, \\ v - u = 1 \end{cases} \implies 2v = 2 \implies v = 1, \quad u = 0 $$ Возвращаемся к исходным переменным: $$ \begin{cases} \sin x = 0 \\ \cos y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}, \\ y = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \end{cases} $$ Ответ: $(\pi k;\, 2\pi n), \quad k, n \in \mathbb{Z}$. --- *Вторая система:* $$ \begin{cases} \cos x + \cos y = 0,5, \\ \sin^2 x + \sin^2 y = 1,75 \end{cases} $$ Преобразуем второе уравнение с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$: $$ (1 - \cos^2 x) + (1 - \cos^2 y) = 1,75 $$ $$ 2 - (\cos^2 x + \cos^2 y) = 1,75 \implies \cos^2 x + \cos^2 y = 0,25 = \frac{1}{4} $$ Введем замену: $u = \cos x$, $v = \cos y$. $$ \begin{cases} u + v = \frac{1}{2}, \\ u^2 + v^2 = \frac{1}{4} \end{cases} $$ Возведем первое уравнение в квадрат: $$ (u + v)^2 = \frac{1}{4} \implies u^2 + v^2 + 2uv = \frac{1}{4} $$ Подставим $u^2 + v^2 = \frac{1}{4}$: $$ \frac{1}{4} + 2uv = \frac{1}{4} \implies 2uv = 0 \implies uv = 0 $$ Следовательно, либо $u = 0$, либо $v = 0$: 1) Если $u = 0$, то $v = \frac{1}{2}$: $$ \begin{cases} \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}, \\ \cos y = \frac{1}{2} \implies y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \end{cases} $$ 2) Если $v = 0$, то $u = \frac{1}{2}$: $$ \begin{cases} \cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}, \\ \cos y = 0 \implies y = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \end{cases} $$ Ответ: $\left(\frac{\pi}{2} + \pi k;\, \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right)$, $\left(\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k;\, \frac{\pi}{2} + \pi n\right), \quad k, n \in \mathbb{Z}$.