ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-15. вариант - Б1

### Вариант Б1 ### 1 Решите уравнение: **а)** $(1 + \cos 2x) \operatorname{tg} x = \cos x$ Область допустимых значений: $\operatorname{tg} x$ определен при $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Применим формулу $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$ и определение тангенса $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$: $$2\cos^2 x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \cos x$$ Так как $\cos x \neq 0$, сократим дробь на $\cos x$: $$2\cos x \sin x = \cos x$$ Перенесем слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель: $$\cos x(2\sin x - 1) = 0$$ Так как $\cos x \neq 0$ по ОДЗ, получаем: $$2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$$ $$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Все найденные значения удовлетворяют условию $\cos x \neq 0$. Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. --- **б)** $\frac{\sin x - \sin 3x}{1 + \cos x} = 0$ Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля: $$\begin{cases} \sin x - \sin 3x = 0, \\ 1 + \cos x \neq 0. \end{cases}$$ Из условия существования дроби: $\cos x \neq -1 \implies x \neq \pi + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$. Преобразуем числитель с помощью формулы разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha - \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \beta}{2}$: $$\sin x - \sin 3x = 2\sin(-x)\cos 2x = -2\sin x \cos 2x$$ $$-2\sin x \cos 2x = 0$$ 1) $\sin x = 0 \implies x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. С учетом условия $x \neq \pi + 2\pi m$, исключаем точки с нечетным коэффициентом при $\pi$. Получаем серию: $x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. 2) $\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$. Для этих значений $\cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \neq -1$, условие $1 + \cos x \neq 0$ выполняется. Ответ: $x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$. --- **в)** $\sqrt{\operatorname{ctg} x} = \sqrt{2 \cos x}$ Уравнение равносильно системе: $$\begin{cases} \operatorname{ctg} x = 2\cos x, \\ \cos x \ge 0, \\ \sin x \neq 0. \end{cases}$$ Преобразуем уравнение: $$\frac{\cos x}{\sin x} - 2\cos x = 0$$ $$\cos x \left(\frac{1}{\sin x} - 2\right) = 0$$ 1) $\cos x = 0$: Условие $\cos x \ge 0$ выполняется ($0 \ge 0$). Так как при $\cos x = 0$ значение $\sin x = \pm 1 \neq 0$, условие $\sin x \neq 0$ также выполняется. Корень уравнения: $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 2) $\frac{1}{\sin x} - 2 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$: Решениями являются углы первой и второй четвертей: $x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi m$ и $x_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$, $m \in \mathbb{Z}$. Проверим условие $\cos x \ge 0$: - Для $x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi m$: $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$ — удовлетворяет условию; - Для $x_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$: $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$ — не удовлетворяет условию (подкоренное выражение отрицательно). Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$. --- ### 2 Решите систему уравнений: $$\begin{cases} \sin x \cos y = 0,75, \\ \sin y \cos x = 0,25. \end{cases}$$ Сложим первое и второе уравнения системы: $$\sin x \cos y + \cos x \sin y = 0,75 + 0,25$$ $$\sin(x + y) = 1$$ Вычтем второе уравнение из первого: $$\sin x \cos y - \cos x \sin y = 0,75 - 0,25$$ $$\sin(x - y) = 0,5$$ Получаем систему: $$\begin{cases} \sin(x + y) = 1, \\ \sin(x - y) = \frac{1}{2}. \end{cases}$$ Из первого уравнения: $$x + y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Из второго уравнения получаем две серии значений: 1) $x - y = \frac{\pi}{6} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$ Сложим и вычтем уравнения для $x + y$ и $x - y$: $$2x = \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}\right) + 2\pi(k + m) = \frac{2\pi}{3} + 2\pi(k + m) \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi(k + m)$$ $$2y = \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) + 2\pi(k - m) = \frac{\pi}{3} + 2\pi(k - m) \implies y = \frac{\pi}{6} + \pi(k - m)$$ 2) $x - y = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$ Аналогично находим $x$ и $y$: $$2x = \left(\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{6}\right) + 2\pi(k + m) = \frac{4\pi}{3} + 2\pi(k + m) \implies x = \frac{2\pi}{3} + \pi(k + m)$$ $$2y = \left(\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{6}\right) + 2\pi(k - m) = -\frac{\pi}{3} + 2\pi(k - m) \implies y = -\frac{\pi}{6} + \pi(k - m)$$ Ответ: $\left(\frac{\pi}{3} + \pi(k + m); \frac{\pi}{6} + \pi(k - m)\right)$, $\left(\frac{2\pi}{3} + \pi(k + m); -\frac{\pi}{6} + \pi(k - m)\right)$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.