ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы контрольные работы / К-12. вариант - А1

### 1 **а)** Найдем значение выражения $A_8^2 - P_4$. По формулам размещений и перестановок: $$A_8^2 = \frac{8!}{(8 - 2)!} = 8 \cdot 7 = 56$$ $$P_4 = 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$$ Вычислим разность: $$A_8^2 - P_4 = 56 - 24 = 32$$ Ответ: $32$. **б)** Найдем третий член разложения бинома $(x + 2)^4$. Формула общего члена бинома Ньютона: $$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$$ Для бинома $(x + 2)^4$ имеем $a = x$, $b = 2$, $n = 4$. Третьему члену соответствует $k = 2$: $$T_3 = C_4^2 \cdot x^{4-2} \cdot 2^2$$ Вычислим биномиальный коэффициент: $$C_4^2 = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$$ Тогда: $$T_3 = 6 \cdot x^2 \cdot 4 = 24x^2$$ Ответ: $24x^2$. --- ### 2 **а)** Отрезок однозначно задается парой своих концов. Порядок выбора концов отрезка не имеет значения, и так как никакие три точки не лежат на одной прямой, каждая пара точек образует единственный отрезок. Число отрезков равно числу сочетаний из $8$ элементов по $2$: $$C_8^2 = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$$ Ответ: $28$ отрезков. **б)** Луч однозначно задается упорядоченной парой точек: первой выбирается точка — начало луча, а второй — точка, через которую он проходит. Поскольку никакие три точки не лежат на одной прямой, лучи с общим началом, проходящие через разные точки, не совпадают. Число таких лучей равно числу размещений из $8$ элементов по $2$: $$A_8^2 = 8 \cdot 7 = 56$$ Ответ: $56$ лучей. --- ### 3 В разложении бинома $\left(x - \frac{1}{x}\right)^n$ биномиальные коэффициенты имеют вид $C_n^k$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n$. Первый биномиальный коэффициент — $C_n^0$, второй — $C_n^1$, третий — $C_n^2$. По условию, второй и третий биномиальные коэффициенты равны: $$C_n^1 = C_n^2$$ По формуле числа сочетаний при $n \ge 2$: $$C_n^1 = n, \quad C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}$$ Составим и решим уравнение: $$n = \frac{n(n - 1)}{2}$$ Так как $n \ge 2$, разделим обе части на $n$: $$1 = \frac{n - 1}{2}$$ $$n - 1 = 2 \implies n = 3$$ Запишем формулу разложения бинома при $n = 3$: $$\left(x - \frac{1}{x}\right)^3 = C_3^0 x^3 - C_3^1 x^2 \cdot \frac{1}{x} + C_3^2 x \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^2 - C_3^3 \left(\frac{1}{x}\right)^3$$ Подставим коэффициенты $C_3^0 = 1$, $C_3^1 = 3$, $C_3^2 = 3$, $C_3^3 = 1$: $$\left(x - \frac{1}{x}\right)^3 = x^3 - 3x + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^3}$$ Ответ: $n = 3$; $\left(x - \frac{1}{x}\right)^3 = x^3 - 3x + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^3}$. --- ### 4 Всего имеется $10$ различных шкафов и $6 + 4 = 10$ фиксированных мест вдоль двух стен (6 мест вдоль одной стены и 4 места вдоль другой). Порядок расположения шкафов вдоль стен имеет значение, поэтому задача сводится к нахождению числа перестановок из $10$ различных элементов по $10$ местам: $$P_{10} = 10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 = 3\,628\,800$$ *(Тот же результат получается, если сначала выбрать 6 шкафов для первой стены способами $C_{10}^6$, расставить их $6!$ способами, а оставшиеся 4 шкафа расставить вдоль второй стены $4!$ способами: $C_{10}^6 \cdot 6! \cdot 4! = \frac{10!}{6!4!} \cdot 6!4! = 10!$)*. Ответ: $3\,628\,800$ способов. --- ### 5 Решим уравнение: $$A_x^2 - C_x^{x-1} = 24$$ По определению числа размещений и сочетаний переменная $x$ должна быть натуральным числом, причем $x \ge 2$. Используем формулы комбинаторики: $$A_x^2 = x(x - 1)$$ $$C_x^{x-1} = C_x^1 = x$$ Подставим полученные выражения в уравнение: $$x(x - 1) - x = 24$$ $$x^2 - x - x - 24 = 0$$ $$x^2 - 2x - 24 = 0$$ Решим квадратное уравнение по теореме Виета или через дискриминант: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$$ $$x_1 = \frac{2 + 10}{2} = 6$$ $$x_2 = \frac{2 - 10}{2} = -4$$ Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию $x \in \mathbb{N}$, $x \ge 2$. Следовательно, подходит только $x = 6$. Ответ: $6$.