ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 1 - 25

Решим тригонометрическое уравнение: $$2\cos 2x + 5\cos^2 x = 8\sin 2x - 6$$ **Решение:** 1. Применим формулы двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ и $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $$2(\cos^2 x - \sin^2 x) + 5\cos^2 x = 8 \cdot 2\sin x \cos x - 6$$ $$2\cos^2 x - 2\sin^2 x + 5\cos^2 x = 16\sin x \cos x - 6$$ $$7\cos^2 x - 2\sin^2 x - 16\sin x \cos x + 6 = 0$$ 2. Представим свободный член $6$ с помощью основного тригонометрического тождества: $6 = 6(\sin^2 x + \cos^2 x)$: $$7\cos^2 x - 2\sin^2 x - 16\sin x \cos x + 6\sin^2 x + 6\cos^2 x = 0$$ Приведем подобные слагаемые: $$4\sin^2 x - 16\sin x \cos x + 13\cos^2 x = 0$$ 3. Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Если $\cos x = 0$, то из уравнения следует $4\sin^2 x = 0$, то есть $\sin x = 0$, что невозможно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$: $$4\operatorname{tg}^2 x - 16\operatorname{tg} x + 13 = 0$$ 4. Пусть $t = \operatorname{tg} x$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $$4t^2 - 16t + 13 = 0$$ Найдем корни через четверть дискриминанта: $$\frac{D}{4} = (-8)^2 - 4 \cdot 13 = 64 - 52 = 12$$ $$\sqrt{\frac{D}{4}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$ $$t_{1, 2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{3}}{2}$$ 5. Выполним обратную замену: 1) $\operatorname{tg} x = \frac{4 - \sqrt{3}}{2} \implies x = \operatorname{arctg}\left(\frac{4 - \sqrt{3}}{2}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ 2) $\operatorname{tg} x = \frac{4 + \sqrt{3}}{2} \implies x = \operatorname{arctg}\left(\frac{4 + \sqrt{3}}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $x = \operatorname{arctg}\left(\frac{4 \pm \sqrt{3}}{2}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$