ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 33 / вариант 2 - 28

28. 5) Решим уравнение: $$ \cos \frac{x}{3} = \frac{1}{2} $$ Используем формулу корней простейшего тригонометрического уравнения $\cos t = a$: $$ \frac{x}{3} = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Так как $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, получаем: $$ \frac{x}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Умножим обе части уравнения на $3$: $$ x = \pm \pi + 6\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Отберём корни, принадлежащие отрезку $[-6\pi; 6\pi]$. Рассмотрим две серии решений: 1) Для серии $x = \pi + 6\pi k$: $$ -6\pi \le \pi + 6\pi k \le 6\pi $$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $$ -6 \le 1 + 6k \le 6 $$ Вычтем $1$: $$ -7 \le 6k \le 5 $$ Разделим на $6$: $$ -\frac{7}{6} \le k \le \frac{5}{6} $$ Так как $k \in \mathbb{Z}$, получаем возможные значения $k = -1$ и $k = 0$: - при $k = -1$: $x = \pi + 6\pi \cdot (-1) = \pi - 6\pi = -5\pi$; - при $k = 0$: $x = \pi + 6\pi \cdot 0 = \pi$. 2) Для серии $x = -\pi + 6\pi k$: $$ -6\pi \le -\pi + 6\pi k \le 6\pi $$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $$ -6 \le -1 + 6k \le 6 $$ Прибавим $1$: $$ -5 \le 6k \le 7 $$ Разделим на $6$: $$ -\frac{5}{6} \le k \le \frac{7}{6} $$ Так как $k \in \mathbb{Z}$, получаем возможные значения $k = 0$ и $k = 1$: - при $k = 0$: $x = -\pi + 6\pi \cdot 0 = -\pi$; - при $k = 1$: $x = -\pi + 6\pi \cdot 1 = 5\pi$. Таким образом, заданному отрезку принадлежат корни: $-5\pi, -\pi, \pi, 5\pi$. Ответ: $-5\pi; -\pi; \pi; 5\pi$ (или $\pm \pi; \pm 5\pi$).