ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 28 / вариант 1 - 17

17. 4) Упростим выражение: $$ \frac{2 \cos \alpha \sin \beta + \sin (\alpha - \beta)}{2 \cos \alpha \cos \beta - \cos (\alpha - \beta)} $$ Применим формулы синуса разности и косинуса разности: * $\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$ * $\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$ Преобразуем числитель дроби: $$ 2 \cos \alpha \sin \beta + \sin (\alpha - \beta) = 2 \cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $$ По формуле синуса суммы: $$ \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin (\alpha + \beta) $$ Преобразуем знаменатель дроби: $$ 2 \cos \alpha \cos \beta - \cos (\alpha - \beta) = 2 \cos \alpha \cos \beta - (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $$ По формуле косинуса суммы: $$ \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \cos (\alpha + \beta) $$ Подставим полученные выражения обратно в дробь: $$ \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)} = \operatorname{tg} (\alpha + \beta) $$ Ответ: $\operatorname{tg} (\alpha + \beta)$