ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 28 / вариант 1 - 13

13. Для упрощения выражения применим формулу синуса разности аргументов: $$ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $$ Подставим эту формулу в числитель дроби: $$ \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} + \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} + \operatorname{tg} \beta $$ Почленно разделим числитель на знаменатель: $$ \frac{\sin \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} - \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} + \operatorname{tg} \beta $$ Сократим дроби на общие множители при условии, что $\cos \alpha \neq 0$ и $\cos \beta \neq 0$: $$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \beta}{\cos \beta} + \operatorname{tg} \beta $$ Используя определение тангенса $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$, запишем: $$ \operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \beta $$ Приведем подобные слагаемые: $$ \operatorname{tg} \alpha $$ Ответ: $\operatorname{tg} \alpha$.