ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 32 / вариант 2 - 20

**20. (6)** Преобразуем сумму тригонометрических функций в произведение: $$ \sin 4\alpha + \sin 6\alpha + \sin 8\alpha + \sin 10\alpha $$ Сгруппируем слагаемые с равными суммами аргументов ($4\alpha + 10\alpha = 6\alpha + 8\alpha = 14\alpha$): $$ (\sin 10\alpha + \sin 4\alpha) + (\sin 8\alpha + \sin 6\alpha) $$ Применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$ к каждой группе: 1) Для первой пары: $$ \sin 10\alpha + \sin 4\alpha = 2\sin\frac{10\alpha + 4\alpha}{2}\cos\frac{10\alpha - 4\alpha}{2} = 2\sin 7\alpha \cos 3\alpha $$ 2) Для второй пары: $$ \sin 8\alpha + \sin 6\alpha = 2\sin\frac{8\alpha + 6\alpha}{2}\cos\frac{8\alpha - 6\alpha}{2} = 2\sin 7\alpha \cos \alpha $$ Подставим полученные выражения в исходную сумму: $$ 2\sin 7\alpha \cos 3\alpha + 2\sin 7\alpha \cos \alpha $$ Вынесем общий множитель $2\sin 7\alpha$ за скобки: $$ 2\sin 7\alpha (\cos 3\alpha + \cos \alpha) $$ К выражению в скобках применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$: $$ \cos 3\alpha + \cos \alpha = 2\cos\frac{3\alpha + \alpha}{2}\cos\frac{3\alpha - \alpha}{2} = 2\cos 2\alpha \cos \alpha $$ Перемножим полученные множители: $$ 2\sin 7\alpha \cdot 2\cos 2\alpha \cos \alpha = 4\sin 7\alpha \cos 2\alpha \cos \alpha $$ **Ответ:** $4\sin 7\alpha \cos 2\alpha \cos \alpha$ (или $4\cos\alpha \cos 2\alpha \sin 7\alpha$).