ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 30 / вариант 2 - 9

Для вычисления $\sin\frac{\pi}{8}$ воспользуемся формулой половинного угла: $$ \sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} $$ 1. Положим $\alpha = \frac{\pi}{4}$, тогда $\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{8}$. 2. Так как угол $\frac{\pi}{8}$ принадлежит первой четверти $\left(0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2}\right)$, значение синуса положительно: $$ \sin\frac{\pi}{8} > 0 $$ 3. Подставим известное табличное значение $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ в формулу: $$ \sin\frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 - \cos\frac{\pi}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} $$ *(Примечание: если число в квадратных скобках [6] является множителем выражения, то $6\sin\frac{\pi}{8} = 6 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} = 3\sqrt{2 - \sqrt{2}}$).* Ответ: $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ (или $3\sqrt{2 - \sqrt{2}}$, если в условии задан множитель $6$).