ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 30 / вариант 2 - 18

Выразим функции $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ через тангенс половинного угла с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки: $$ \sin \alpha = \frac{2\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}, \quad \cos \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} $$ Пусть $t = \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}$. Подставим эти выражения в исходное уравнение $\sin \alpha - \cos \alpha = 0,2$: $$ \frac{2t}{1 + t^2} - \frac{1 - t^2}{1 + t^2} = \frac{1}{5} $$ $$ \frac{t^2 + 2t - 1}{t^2 + 1} = \frac{1}{5} $$ Так как $t^2 + 1 > 0$ при любых действительных значениях $t$, умножим обе части уравнения на $5(t^2 + 1)$: $$ 5(t^2 + 2t - 1) = t^2 + 1 $$ $$ 5t^2 + 10t - 5 = t^2 + 1 $$ $$ 4t^2 + 10t - 6 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ 2t^2 + 5t - 3 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант: $$ D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $$ $$ t_1 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ $$ t_2 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3 $$ По условию $\pi < \alpha < 2\pi$. Разделим неравенство на $2$: $$ \frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \pi $$ Угол $\frac{\alpha}{2}$ лежит во II координатной четверти, следовательно, $\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} < 0$. Значение $t_1 = \frac{1}{2} > 0$ не удовлетворяет условию задачи, значит: $$ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = -3 $$ Ответ: $-3$