ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 30 / вариант 2 - 13

13. В дидактических материалах к данному номеру содержится условие с тангенсом половинного угла: $\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = a$ (при буквальном чтении $\frac{\alpha}{2} = a$ получаем тривиальное равенство $\alpha = 2a \implies \sin 2\alpha = \sin 4a$). Приведем решение для $\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = a$: 1) Выразим $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ через тангенс половинного угла с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки: $$ \sin \alpha = \frac{2\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{2a}{1 + a^2} $$ $$ \cos \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{1 - a^2}{1 + a^2} $$ 2) Применим формулу синуса двойного угла: $$ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $$ 3) Подставим полученные выражения: $$ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{2a}{1 + a^2} \cdot \frac{1 - a^2}{1 + a^2} = \frac{4a(1 - a^2)}{(1 + a^2)^2} $$ Ответ: $\frac{4a(1 - a^2)}{(1 + a^2)^2}$ (если условие понимать буквально как $\frac{\alpha}{2} = a$, то $\sin 4a$).