ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 30 / вариант 1 - 9

**9.** Вычислить: $\cos \frac{\pi}{12}$. Представим аргумент $\frac{\pi}{12}$ как половинный угол: $$ \frac{\pi}{12} = \frac{\frac{\pi}{6}}{2} $$ Так как угол $\frac{\pi}{12}$ лежит в первой четверти $\left(0 < \frac{\pi}{12} < \frac{\pi}{2}\right)$, значение его косинуса положительно. Воспользуемся формулой косинуса половинного угла: $$ \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} $$ При $\alpha = \frac{\pi}{6}$: $$ \cos \frac{\pi}{12} = \sqrt{\frac{1 + \cos \frac{\pi}{6}}{2}} $$ Так как $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставим это значение: $$ \cos \frac{\pi}{12} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} $$ Упростим подкоренное выражение, умножив числитель и знаменатель под корнем на $2$: $$ \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} = \sqrt{\frac{4 + 2\sqrt{3}}{8}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{8}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} + 1)\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$ Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ (или $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$).