ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 30 / вариант 1 - 13

**13.** Для того чтобы найти $\cos 2\alpha$, выразим сначала $\cos \alpha$ через котангенс половинного угла, а затем применим формулу косинуса двойного угла. 1. Выразим $\cos \alpha$ через $\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2}$: По формуле косинуса двойного аргумента и основному тригонометрическому тождеству: $$ \cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2}} $$ Разделим числитель и знаменатель дроби на $\sin^2 \frac{\alpha}{2}$ (так как $\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} = b$, то $\sin \frac{\alpha}{2} \neq 0$): $$ \cos \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \frac{\alpha}{2} - 1}{\operatorname{ctg}^2 \frac{\alpha}{2} + 1} $$ Подставим $\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} = b$: $$ \cos \alpha = \frac{b^2 - 1}{b^2 + 1} $$ 2. Найдем $\cos 2\alpha$, используя формулу косинуса двойного угла: $$ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $$ Подставим найденное выражение для $\cos \alpha$: $$ \cos 2\alpha = 2 \cdot \left(\frac{b^2 - 1}{b^2 + 1}\right)^2 - 1 = \frac{2(b^2 - 1)^2 - (b^2 + 1)^2}{(b^2 + 1)^2} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ 2(b^4 - 2b^2 + 1) - (b^4 + 2b^2 + 1) = 2b^4 - 4b^2 + 2 - b^4 - 2b^2 - 1 = b^4 - 6b^2 + 1 $$ Таким образом: $$ \cos 2\alpha = \frac{b^4 - 6b^2 + 1}{(b^2 + 1)^2} $$ Ответ: $\cos 2\alpha = \frac{b^4 - 6b^2 + 1}{(b^2 + 1)^2}$