ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 18 / вариант 2 - 19

19. Решим неравенство: $$ |3| \log_{x} 5 < 0 $$ Так как $|3| = 3$, получаем: $$ 3\log_{x} 5 < 0 $$ Разделим обе части неравенства на $3$ ($3 > 0$, знак неравенства сохраняется): $$ \log_{x} 5 < 0 $$ 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** Основание логарифма должно быть строго больше нуля и не равно единице: $$ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $$ То есть $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$. 2. **Решение неравенства:** Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\log_{x} 5 = \dfrac{1}{\log_{5} x}$: $$ \frac{1}{\log_{5} x} < 0 $$ Дробь с положительным числителем строго меньше нуля тогда и только тогда, когда её знаменатель меньше нуля: $$ \log_{5} x < 0 $$ Представим нуль в виде логарифма: $0 = \log_{5} 1$. Получаем: $$ \log_{5} x < \log_{5} 1 $$ Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция возрастает, поэтому знак неравенства для подлогарифмических выражений сохраняется: $$ x < 1 $$ 3. **С учётом ОДЗ:** $$ \begin{cases} x < 1 \\ x > 0 \end{cases} \implies 0 < x < 1 $$ Ответ: $x \in (0; 1)$