ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / § 11 / вариант 1 - 21

**21. (5)** Построить график функции $y = 3^x + 2$. **Решение:** 1. **Свойства функции:** * **Область определения:** показательное выражение определено при любом значении аргумента: $$D(y) = (-\infty; +\infty)$$ * **Множество значений:** так как $3^x > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, то $3^x + 2 > 2$: $$E(y) = (2; +\infty)$$ * **Монотонность:** функция возрастает на всей области определения, так как основание степени $3 > 1$. * **Асимптота:** прямая $y = 2$ является горизонтальной асимптотой (при $x \to -\infty$ значение $3^x \to 0$, соответственно $y \to 2$). 2. **Геометрическое преобразование:** График функции $y = 3^x + 2$ получается из графика функции $y = 3^x$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на $2$ единицы вверх. 3. **Таблица контрольных точек:** | $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $2\frac{1}{3}$ | $3$ | $5$ | $11$ | * При $x = -1$: $$y = 3^{-1} + 2 = \frac{1}{3} + 2 = 2\frac{1}{3}$$ * При $x = 0$: $$y = 3^0 + 2 = 1 + 2 = 3$$ Точка $(0; 3)$ — точка пересечения графика с осью ординат $Oy$. С осью абсцисс $Ox$ график не пересекается. * При $x = 1$: $$y = 3^1 + 2 = 3 + 2 = 5$$ * При $x = 2$: $$y = 3^2 + 2 = 9 + 2 = 11$$ 4. **Построение:** * На координатной плоскости пунктирной линией проводим горизонтальную асимптоту — прямую $y = 2$. * Отмечаем найденные точки: $\left(-1; 2\frac{1}{3}\right)$, $(0; 3)$, $(1; 5)$. * Соединяем точки плавной непрерывной линией, приближающейся слева к прямой $y = 2$ и резко возрастающей вправо.