ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 4 / вариант 1 - 15

Найдите область определения выражения (значения $x$, при которых выражение имеет смысл): $$ \sqrt[4]{x^2 - 3x - 4} $$ **Решение:** Корень чётной степени (в данном случае четвёртой) имеет смысл тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно. Составим неравенство: $$ x^2 - 3x - 4 \ge 0 $$ Найдём нули квадратного трёхчлена, решив уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = -4 \end{cases} \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 4 $$ Разложим левую часть неравенства на множители: $$ (x + 1)(x - 4) \ge 0 $$ Решим полученное неравенство методом интервалов: 1. Отметим нули функции $x = -1$ и $x = 4$ на числовой прямой (точки закрашенные, так как неравенство нестрогое). 2. Определим знаки выражения $(x + 1)(x - 4)$ на каждом из получившихся промежутков: - при $x > 4$ выражение положительно ($+$); - при $-1 < x < 4$ выражение отрицательно ($- $); - при $x < -1$ выражение положительно ($+$). Нам подходят промежутки, где выражение больше или равно нулю: $$ x \le -1 \quad \text{или} \quad x \ge 4 $$ В виде числовых промежутков: $$ x \in (-\infty; -1] \cup [4; +\infty) $$ Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [4; +\infty)$