ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 989

Найдем общий вид первообразных для данных функций, используя таблицу первообразных и правила интегрирования: - первообразная суммы равна сумме первообразных; - постоянный множитель можно выносить за знак первообразной; - общий вид первообразных записывается в виде $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная. ### 1) Дана функция: $$ f(x) = 3 \cos x - 4 \sin x $$ Используя формулы первообразных для тригонометрических функций: $$ F(x) = 3 \sin x - 4 \cdot (-\cos x) + C = 3 \sin x + 4 \cos x + C $$ **Ответ:** $F(x) = 3 \sin x + 4 \cos x + C$. --- ### 2) Дана функция: $$ f(x) = 5 \sin x + 2 \cos x $$ Используя табличные первообразные: $$ F(x) = 5 \cdot (-\cos x) + 2 \sin x + C = -5 \cos x + 2 \sin x + C $$ **Ответ:** $F(x) = -5 \cos x + 2 \sin x + C$. --- ### 3) Дана функция: $$ f(x) = e^x - 2 \cos x $$ Используя табличные формулы для показательной и тригонометрической функций: $$ F(x) = e^x - 2 \sin x + C $$ **Ответ:** $F(x) = e^x - 2 \sin x + C$. --- ### 4) Дана функция: $$ f(x) = 3e^x - \sin x $$ Используя формулы первообразных: $$ F(x) = 3e^x - (-\cos x) + C = 3e^x + \cos x + C $$ **Ответ:** $F(x) = 3e^x + \cos x + C$. --- ### 5) Дана функция: $$ f(x) = 5 - e^{-x} + 3 \cos x $$ Первообразная постоянной $5$ равна $5x$, первообразная для $e^{-x}$ равна $-e^{-x}$, а для $\cos x$ равна $\sin x$: $$ F(x) = 5x - (-e^{-x}) + 3 \sin x + C = 5x + e^{-x} + 3 \sin x + C $$ **Ответ:** $F(x) = 5x + e^{-x} + 3 \sin x + C$. --- ### 6) Дана функция: $$ f(x) = 1 + 3e^x - 4 \cos x $$ Находим первообразную для каждого слагаемого: $$ F(x) = x + 3e^x - 4 \sin x + C $$ **Ответ:** $F(x) = x + 3e^x - 4 \sin x + C$. --- ### 7) Дана функция: $$ f(x) = 6\sqrt[3]{x} - \frac{2}{x} + 3e^x $$ Представим первое слагаемое в виде степени с рациональным показателем: $6\sqrt[3]{x} = 6x^{\frac{1}{3}}$. Применим формулу первообразной степенной функции для $x^{\frac{1}{3}}$, формулу первообразной для $\frac{1}{x}$ и для $e^x$: $$ F(x) = 6 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3} + 1}}{\frac{1}{3} + 1} - 2\ln|x| + 3e^x + C = 6 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} - 2\ln|x| + 3e^x + C $$ $$ F(x) = 6 \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} - 2\ln|x| + 3e^x + C = \frac{9}{2} x\sqrt[3]{x} - 2\ln|x| + 3e^x + C = 4{,}5x\sqrt[3]{x} - 2\ln|x| + 3e^x + C $$ **Ответ:** $F(x) = 4{,}5x\sqrt[3]{x} - 2\ln|x| + 3e^x + C$. --- ### 8) Дана функция: $$ f(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2e^{-x} $$ Функция определена при $x > 0$. Запишем первое слагаемое как степень с дробным показателем: $\frac{4}{\sqrt{x}} = 4x^{-\frac{1}{2}}$. Находим первообразную каждого слагаемого: $$ F(x) = 4 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + 3\ln|x| - 2 \cdot (-e^{-x}) + C $$ $$ F(x) = 4 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + 3\ln|x| + 2e^{-x} + C = 8\sqrt{x} + 3\ln|x| + 2e^{-x} + C $$ Так как область определения функции $x > 0$, знак модуля можно опустить: $\ln|x| = \ln x$. **Ответ:** $F(x) = 8\sqrt{x} + 3\ln x + 2e^{-x} + C$.