ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 944

**1)** $f(x) = \ln x - x$ на отрезке $\left[\frac{1}{2}; 3\right]$. Функция определена и непрерывна на отрезке $\left[\frac{1}{2}; 3\right]$. 1. Найдём производную функции: $$ f'(x) = (\ln x - x)' = \frac{1}{x} - 1 $$ 2. Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $$ \frac{1}{x} - 1 = 0 \implies \frac{1}{x} = 1 \implies x = 1 $$ Точка $x = 1$ принадлежит отрезку $\left[\frac{1}{2}; 3\right]$. 3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: $$ f(1) = \ln 1 - 1 = 0 - 1 = -1 $$ $$ f\left(\frac{1}{2}\right) = \ln\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} = -\ln 2 - 0{,}5 \approx -0{,}693 - 0{,}5 = -1{,}193 $$ $$ f(3) = \ln 3 - 3 \approx 1{,}099 - 3 = -1{,}901 $$ 4. Сравним полученные значения: $$ -1 > -\ln 2 - \frac{1}{2} > \ln 3 - 3 $$ Следовательно: * наибольшее значение функции равно $-1$ (достигается при $x = 1$); * наименьшее значение функции равно $\ln 3 - 3$ (достигается при $x = 3$). **Ответ:** $\max_{\left[\frac{1}{2}; 3\right]} f(x) = -1$, $\min_{\left[\frac{1}{2}; 3\right]} f(x) = \ln 3 - 3$. --- **2)** $f(x) = x + e^{-x}$ на отрезке $[-1; 2]$. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, в том числе на отрезке $[-1; 2]$. 1. Найдём производную функции: $$ f'(x) = (x + e^{-x})' = 1 + e^{-x} \cdot (-x)' = 1 - e^{-x} $$ 2. Найдём критические точки: $$ 1 - e^{-x} = 0 \implies e^{-x} = 1 \implies -x = 0 \implies x = 0 $$ Точка $x = 0$ принадлежит отрезку $[-1; 2]$. 3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: $$ f(0) = 0 + e^{-0} = 0 + 1 = 1 $$ $$ f(-1) = -1 + e^{-(-1)} = e - 1 \approx 2{,}718 - 1 = 1{,}718 $$ $$ f(2) = 2 + e^{-2} = 2 + \frac{1}{e^2} \approx 2 + \frac{1}{7{,}389} \approx 2{,}135 $$ 4. Сравним полученные значения: $$ 1 < e - 1 < 2 + e^{-2} $$ Следовательно: * наибольшее значение функции равно $2 + e^{-2}$ (достигается при $x = 2$); * наименьшее значение функции равно $1$ (достигается при $x = 0$). **Ответ:** $\max_{[-1; 2]} f(x) = 2 + e^{-2}$, $\min_{[-1; 2]} f(x) = 1$. --- **3)** $f(x) = 2 \cos x - \cos 2x$ на отрезке $[0; \pi]$. Функция определена и непрерывна на отрезке $[0; \pi]$. 1. Найдём производную функции: $$ f'(x) = (2 \cos x - \cos 2x)' = -2 \sin x - (-\sin 2x) \cdot 2 = -2 \sin x + 2 \sin 2x $$ Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $$ f'(x) = -2 \sin x + 4 \sin x \cos x = 2 \sin x (2 \cos x - 1) $$ 2. Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $$ 2 \sin x (2 \cos x - 1) = 0 $$ Отсюда получаем два случая: * $\sin x = 0 \implies x = \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. На отрезке $[0; \pi]$ лежат точки $x = 0$ и $x = \pi$ (концы отрезка). * $2 \cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. На отрезке $[0; \pi]$ лежит точка $x = \frac{\pi}{3}$. 3. Вычислим значения функции в найденных точках: $$ f(0) = 2 \cos 0 - \cos 0 = 2 \cdot 1 - 1 = 1 $$ $$ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 + \frac{1}{2} = 1{,}5 $$ $$ f(\pi) = 2 \cos \pi - \cos (2\pi) = 2 \cdot (-1) - 1 = -2 - 1 = -3 $$ 4. Сравним полученные значения: $$ -3 < 1 < 1{,}5 $$ Следовательно: * наибольшее значение функции равно $1{,}5$ (достигается при $x = \frac{\pi}{3}$); * наименьшее значение функции равно $-3$ (достигается при $x = \pi$). **Ответ:** $\max_{[0; \pi]} f(x) = 1{,}5$, $\min_{[0; \pi]} f(x) = -3$.