ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 939

**1)** Найдем наименьшее или наибольшее значение функции $f(x) = x^2 + \frac{16}{x^2}$ на промежутке $(0; +\infty)$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = \left(x^2 + 16x^{-2}\right)' = 2x - 32x^{-3} = 2x - \frac{32}{x^3} = \frac{2x^4 - 32}{x^3} $$ Найдем критические точки на промежутке $(0; +\infty)$, решив уравнение $f'(x) = 0$: $$ \frac{2(x^4 - 16)}{x^3} = 0 $$ $$ x^4 - 16 = 0 \implies x^4 = 16 $$ Так как $x \in (0; +\infty)$, получаем единственный корень: $$ x = 2 $$ Определим знаки производной на интервалах промежутка $(0; +\infty)$: * При $x \in (0; 2)$ имеем $f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ убывает; * При $x \in (2; +\infty)$ имеем $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает. При переходе через точку $x = 2$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, $x = 2$ — точка минимума. Так как на промежутке $(0; +\infty)$ это единственная точка экстремума, в ней функция принимает наименьшее значение: $$ f(2) = 2^2 + \frac{16}{2^2} = 4 + 4 = 8 $$ (Наибольшего значения функция на данном промежутке не имеет, так как при $x \to 0^+$ и при $x \to +\infty$ значения функции неограниченно возрастают). Ответ: наименьшее значение функции равно $8$. --- **2)** Найдем наименьшее или наибольшее значение функции $f(x) = \frac{2}{x} - x^2$ на промежутке $(-\infty; 0)$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = \left(2x^{-1} - x^2\right)' = -2x^{-2} - 2x = -\frac{2}{x^2} - 2x = \frac{-2 - 2x^3}{x^2} = -\frac{2(x^3 + 1)}{x^2} $$ Найдем критические точки на промежутке $(-\infty; 0)$, решив уравнение $f'(x) = 0$: $$ -\frac{2(x^3 + 1)}{x^2} = 0 $$ $$ x^3 + 1 = 0 \implies x^3 = -1 \implies x = -1 $$ Определим знаки производной на интервалах промежутка $(-\infty; 0)$: * При $x \in (-\infty; -1)$ имеем $x^3 + 1 < 0$, следовательно, $f'(x) > 0$, и функция $f(x)$ возрастает; * При $x \in (-1; 0)$ имеем $x^3 + 1 > 0$, следовательно, $f'(x) < 0$, и функция $f(x)$ убывает. При переходе через точку $x = -1$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, $x = -1$ — точка максимума. Так как на промежутке $(-\infty; 0)$ это единственная точка экстремума, в ней функция принимает наибольшее значение: $$ f(-1) = \frac{2}{-1} - (-1)^2 = -2 - 1 = -3 $$ (Наименьшего значения функция на данном промежутке не имеет, так как при $x \to -\infty$ и при $x \to 0^-$ значения функции стремятся к $-\infty$). Ответ: наибольшее значение функции равно $-3$.