ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 899

Область определения функции $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$ состоит из всех $x \neq 0$, то есть: $$ D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ Для исследования функции на возрастание и убывание найдем ее производную: $$ f'(x) = \left(x^2 + \frac{2}{x}\right)' = 2x - \frac{2}{x^2} $$ Приведем полученное выражение к общему знаменателю: $$ f'(x) = \frac{2x^3 - 2}{x^2} = \frac{2(x^3 - 1)}{x^2} $$ Используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, разложим числитель на множители: $$ f'(x) = \frac{2(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x^2} $$ Исследуем знаки множителей, входящих в выражение для производной: 1. Знаменатель $x^2 > 0$ при всех $x \in D(f)$ (то есть при $x \neq 0$). 2. Квадратный трехчлен $x^2 + x + 1 > 0$ при любых действительных $x$, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, а старший коэффициент $1 > 0$. Следовательно, знак производной $f'(x)$ совпадает со знаком разности $(x - 1)$: 1. На промежутке $(1; +\infty)$: Так как $x > 1$, то $x - 1 > 0$, откуда $f'(x) > 0$. Поскольку производная функции положительна на интервале $(1; +\infty)$, функция $f(x)$ **возрастает** на этом промежутке. 2. На промежутке $(0; 1)$: Так как $0 < x < 1$, то $x - 1 < 0$, откуда $f'(x) < 0$. Поскольку производная функции отрицательна на интервале $(0; 1)$, функция $f(x)$ **убывает** на этом промежутке. 3. На промежутке $(-\infty; 0)$: Так как $x < 0$, то $x - 1 < 0$, откуда $f'(x) < 0$. Поскольку производная функции отрицательна на интервале $(-\infty; 0)$, функция $f(x)$ **убывает** на этом промежутке. Что и требовалось доказать.