ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 879

**1)** Дана функция $y = \cos^2 3x$. Применим правило дифференцирования сложной функции: $$ y' = (\cos^2 3x)' = 2\cos 3x \cdot (\cos 3x)' = 2\cos 3x \cdot (-\sin 3x) \cdot (3x)' $$ $$ y' = 2\cos 3x \cdot (-\sin 3x) \cdot 3 = -3 \cdot (2\sin 3x \cos 3x) $$ Используя формулу синуса двойного угла $2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$, получаем: $$ y' = -3\sin 6x $$ Ответ: $y' = -3\sin 6x$. --- **2)** Дана функция $y = \sin x \cos x + x$. Упростим выражение с помощью формулы синуса двойного угла $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$: $$ y = \frac{1}{2}\sin 2x + x $$ Найдем производную суммы: $$ y' = \left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)' + (x)' = \frac{1}{2} \cos 2x \cdot (2x)' + 1 = \frac{1}{2} \cos 2x \cdot 2 + 1 = \cos 2x + 1 $$ Ответ: $y' = \cos 2x + 1$. --- **3)** Дана функция $y = (x^3 + 1) \cos 2x$. Применим формулу производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $$ y' = (x^3 + 1)' \cdot \cos 2x + (x^3 + 1) \cdot (\cos 2x)' $$ Находим производные сомножителей: - $(x^3 + 1)' = 3x^2$; - $(\cos 2x)' = -\sin 2x \cdot (2x)' = -2\sin 2x$. Подставляем: $$ y' = 3x^2 \cos 2x - 2(x^3 + 1)\sin 2x $$ Ответ: $y' = 3x^2 \cos 2x - 2(x^3 + 1)\sin 2x$. --- **4)** Дана функция $y = \sin^2 \frac{x}{2}$. Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: $$ y' = 2\sin \frac{x}{2} \cdot \left(\sin \frac{x}{2}\right)' = 2\sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} \cdot \left(\frac{x}{2}\right)' = 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} $$ По формуле синуса двойного угла $2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} = \sin x$: $$ y' = \frac{1}{2}\sin x $$ Ответ: $y' = \frac{1}{2}\sin x$. --- **5)** Дана функция $y = (x + 1)\sqrt[3]{x^2}$. Представим корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$. Раскроем скобки: $$ y = (x + 1)x^{\frac{2}{3}} = x \cdot x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{5}{3}} + x^{\frac{2}{3}} $$ Найдем производную по формуле $(x^n)' = n x^{n-1}$: $$ y' = \frac{5}{3}x^{\frac{5}{3} - 1} + \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3} - 1} = \frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} + \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} $$ Вынесем общий множитель $\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}}$ за скобки: $$ y' = \frac{1}{3x^{\frac{1}{3}}}\left(5x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} + 2\right) = \frac{5x + 2}{3\sqrt[3]{x}} $$ Ответ: $y' = \frac{5x + 2}{3\sqrt[3]{x}}$. --- **6)** Дана функция $y = \sqrt[3]{x - 1}(x^4 - 1)$. Запишем корень как степень: $\sqrt[3]{x - 1} = (x - 1)^{\frac{1}{3}}$. Применим формулу производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $$ y' = \left((x - 1)^{\frac{1}{3}}\right)' \cdot (x^4 - 1) + (x - 1)^{\frac{1}{3}} \cdot (x^4 - 1)' $$ Находим производные сомножителей: - $\left((x - 1)^{\frac{1}{3}}\right)' = \frac{1}{3}(x - 1)^{-\frac{2}{3}} \cdot (x - 1)' = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x - 1)^2}}$; - $(x^4 - 1)' = 4x^3$. Подставляем и приводим к общему знаменателю: $$ y' = \frac{x^4 - 1}{3\sqrt[3]{(x - 1)^2}} + 4x^3\sqrt[3]{x - 1} = \frac{x^4 - 1 + 12x^3(x - 1)}{3\sqrt[3]{(x - 1)^2}} $$ $$ y' = \frac{x^4 - 1 + 12x^4 - 12x^3}{3\sqrt[3]{(x - 1)^2}} = \frac{13x^4 - 12x^3 - 1}{3\sqrt[3]{(x - 1)^2}} $$ Ответ: $y' = \frac{13x^4 - 12x^3 - 1}{3\sqrt[3]{(x - 1)^2}}$.