ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 810

1) Найдем производную функции $y = (x^2 - x)(x^3 + x)$. Раскроем скобки для упрощения дифференцирования: $$ y = x^2 \cdot x^3 + x^2 \cdot x - x \cdot x^3 - x \cdot x = x^5 - x^4 + x^3 - x^2 $$ Используем правило дифференцирования суммы и формулу производной степени $(x^n)' = n x^{n-1}$: $$ y' = (x^5 - x^4 + x^3 - x^2)' = 5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x $$ Ответ: $5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x$. --- 2) Найдем производную функции $y = (x + 2)^{\frac{3}{4}} \sqrt{x}$. Запишем корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$. Функция принимает вид: $$ y = (x + 2)^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{1}{2}} $$ Применим формулу производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + u v'$: $$ u = (x + 2)^{\frac{3}{4}} \implies u' = \frac{3}{4}(x + 2)^{\frac{3}{4} - 1} \cdot (x + 2)' = \frac{3}{4}(x + 2)^{-\frac{1}{4}} $$ $$ v = x^{\frac{1}{2}} \implies v' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} $$ Подставим найденные производные: $$ y' = \frac{3}{4}(x + 2)^{-\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{2}} + (x + 2)^{\frac{3}{4}} \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3\sqrt{x}}{4\sqrt[4]{x + 2}} + \frac{\sqrt[4]{(x + 2)^3}}{2\sqrt{x}} $$ Приведем дроби к общему знаменателю $4\sqrt{x}\sqrt[4]{x + 2}$: $$ y' = \frac{3\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + 2\sqrt[4]{(x + 2)^3} \cdot \sqrt[4]{x + 2}}{4\sqrt{x}\sqrt[4]{x + 2}} = \frac{3x + 2(x + 2)}{4\sqrt{x}\sqrt[4]{x + 2}} = \frac{5x + 4}{4\sqrt{x}\sqrt[4]{x + 2}} $$ *(Примечание: если в условии опечатка и имелась в виду стандартная функция из учебника $y = (x + 2)\sqrt[3]{x}$, то $y = x^{\frac{4}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}$, откуда $y' = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} + \frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{4x + 2}{3\sqrt[3]{x^2}}$).* Ответ: $\frac{5x + 4}{4\sqrt{x}\sqrt[4]{x + 2}}$ (или $\frac{4x + 2}{3\sqrt[3]{x^2}}$ для функции $(x + 2)\sqrt[3]{x}$). --- 3) Найдем производную функции $y = (x - 1)\sqrt{x}$. Представим корень в виде степени $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ и раскроем скобки: $$ y = (x - 1)x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} $$ Применим формулу производной степени $(x^n)' = n x^{n-1}$: $$ y' = \left(x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}}\right)' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ Приведем к общему знаменателю $2\sqrt{x}$: $$ y' = \frac{3\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x}} = \frac{3x - 1}{2\sqrt{x}} $$ Ответ: $\frac{3x - 1}{2\sqrt{x}}$.