ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 805

Для нахождения производных применим правила дифференцирования: $(u \pm v)' = u' \pm v'$, $(c \cdot u)' = c \cdot u'$ и формулу производной степенной функции $(x^p)' = p x^{p-1}$, предварительно записав слагаемые в виде степеней с отрицательными и дробными показателями. 1) Запишем функцию в виде суммы степеней: $$ f(x) = x^2 + \frac{1}{x^3} = x^2 + x^{-3} $$ Найдем производную: $$ f'(x) = (x^2)' + (x^{-3})' = 2x + (-3)x^{-3-1} = 2x - 3x^{-4} = 2x - \frac{3}{x^4} $$ 2) Перепишем функцию через степени: $$ f(x) = x^3 + \frac{1}{x^2} = x^3 + x^{-2} $$ Найдем производную: $$ f'(x) = (x^3)' + (x^{-2})' = 3x^2 + (-2)x^{-2-1} = 3x^2 - 2x^{-3} = 3x^2 - \frac{2}{x^3} $$ 3) Представим корни в виде степеней с дробными показателями: $$ f(x) = 2\sqrt[4]{x} - \sqrt{x} = 2x^{\frac{1}{4}} - x^{\frac{1}{2}} $$ Найдем производную: $$ f'(x) = 2 \cdot \left(x^{\frac{1}{4}}\right)' - \left(x^{\frac{1}{2}}\right)' = 2 \cdot \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} - \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{4}} - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} $$ Вернемся к записи через корни: $$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt[4]{x^3}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ 4) Представим корни в виде степеней с дробными показателями: $$ f(x) = 3\sqrt[6]{x} + 7\sqrt[14]{x} = 3x^{\frac{1}{6}} + 7x^{\frac{1}{14}} $$ Найдем производную: $$ f'(x) = 3 \cdot \left(x^{\frac{1}{6}}\right)' + 7 \cdot \left(x^{\frac{1}{14}}\right)' = 3 \cdot \frac{1}{6}x^{\frac{1}{6}-1} + 7 \cdot \frac{1}{14}x^{\frac{1}{14}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{5}{6}} + \frac{1}{2}x^{-\frac{13}{14}} $$ Вернемся к записи через корни: $$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt[6]{x^5}} + \frac{1}{2\sqrt[14]{x^{13}}} $$ Ответ: 1) $2x - \frac{3}{x^4}$; 2) $3x^2 - \frac{2}{x^3}$; 3) $\frac{1}{2\sqrt[4]{x^3}} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$; 4) $\frac{1}{2\sqrt[6]{x^5}} + \frac{1}{2\sqrt[14]{x^{13}}}$.