ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 699

Преобразуем выражение функции, используя формулы понижения степени и синуса двойного угла: $$ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} $$ $$ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $$ $$ 2 \sin x \cos x = \sin 2x \implies 6 \sin x \cos x = 3 \sin 2x $$ Подставим данные формулы в исходную функцию: $$ y = 10 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} - 3 \sin 2x + 2 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} $$ $$ y = 5(1 + \cos 2x) - 3 \sin 2x + (1 - \cos 2x) $$ $$ y = 5 + 5 \cos 2x - 3 \sin 2x + 1 - \cos 2x $$ $$ y = 6 + 4 \cos 2x - 3 \sin 2x $$ Для выражения $4 \cos 2x - 3 \sin 2x$ применим метод вспомогательного угла: $$ A \cos 2x + B \sin 2x = \sqrt{A^2 + B^2} \cos(2x - \varphi) $$ Здесь $A = 4$, $B = -3$. Найдём амплитуду: $$ \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 $$ Тогда выражение можно записать в виде: $$ 4 \cos 2x - 3 \sin 2x = 5 \left( \frac{4}{5} \cos 2x - \frac{3}{5} \sin 2x \right) = 5 \cos(2x + \varphi) $$ где $\cos \varphi = \frac{4}{5}$, $\sin \varphi = \frac{3}{5}$. Следовательно, функция принимает вид: $$ y = 6 + 5 \cos(2x + \varphi) $$ Так как для любого значения аргумента выполнено двойное неравенство: $$ -1 \le \cos(2x + \varphi) \le 1 $$ Умножим все части неравенства на $5$: $$ -5 \le 5 \cos(2x + \varphi) \le 5 $$ Прибавим $6$ ко всем частям неравенства: $$ 6 - 5 \le 6 + 5 \cos(2x + \varphi) \le 6 + 5 $$ $$ 1 \le y \le 11 $$ Таким образом, наименьшее значение функции равно $1$, а наибольшее значение равно $11$. Множеством значений функции является отрезок $[1; 11]$. Ответ: $[1; 11]$.