ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 661

**1)** Решим уравнение: $$ 6 \sin^2 x - \cos x + 6 = 0 $$ Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $$ 6(1 - \cos^2 x) - \cos x + 6 = 0 $$ Раскроем скобки: $$ 6 - 6 \cos^2 x - \cos x + 6 = 0 $$ $$ -6 \cos^2 x - \cos x + 12 = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $-1$: $$ 6 \cos^2 x + \cos x - 12 = 0 $$ Введем замену переменной: пусть $t = \cos x$, причем $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение: $$ 6t^2 + t - 12 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-12) = 1 + 288 = 289 = 17^2 $$ Корни уравнения: $$ t_1 = \frac{-1 + 17}{2 \cdot 6} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $$ $$ t_2 = \frac{-1 - 17}{2 \cdot 6} = -\frac{18}{12} = -\frac{3}{2} = -1,5 $$ Так как $t_1 > 1$ и $t_2 < -1$, ни один из корней не удовлетворяет условию $|t| \le 1$. Следовательно, уравнение $\cos x = t$ решений не имеет. **Ответ:** нет действительных корней. --- **2)** Решим уравнение: $$ 8 \cos^2 x - 12 \sin x + 7 = 0 $$ Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $$ 8(1 - \sin^2 x) - 12 \sin x + 7 = 0 $$ Раскроем скобки: $$ 8 - 8 \sin^2 x - 12 \sin x + 7 = 0 $$ $$ -8 \sin^2 x - 12 \sin x + 15 = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $-1$: $$ 8 \sin^2 x + 12 \sin x - 15 = 0 $$ Введем замену переменной: пусть $t = \sin x$, причем $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение: $$ 8t^2 + 12t - 15 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = 12^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-15) = 144 + 480 = 624 $$ Так как $\sqrt{624} = \sqrt{16 \cdot 39} = 4\sqrt{39}$, корни уравнения равны: $$ t_1 = \frac{-12 + 4\sqrt{39}}{2 \cdot 8} = \frac{4(-3 + \sqrt{39})}{16} = \frac{\sqrt{39} - 3}{4} $$ $$ t_2 = \frac{-12 - 4\sqrt{39}}{2 \cdot 8} = \frac{-3 - \sqrt{39}}{4} $$ Проверим условие $|t| \le 1$: * Оценим $t_2$: так как $\sqrt{39} > 6$, то $-3 - \sqrt{39} < -9$, откуда $t_2 < -\frac{9}{4} = -2,25 < -1$. Значит, $t_2$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$. * Оценим $t_1$: так как $6 < \sqrt{39} < 7$, то $3 < \sqrt{39} - 3 < 4$, следовательно, $0 < \frac{3}{4} < t_1 < 1$. Значение входит в отрезок $[-1; 1]$. Выполним обратную замену для $t_1$: $$ \sin x = \frac{\sqrt{39} - 3}{4} $$ По формуле корней уравнения $\sin x = a$: $$ x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{39} - 3}{4}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{39} - 3}{4}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.