ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 652

### 1) $\sqrt{2} \cos 2x \leqslant 1$ Разделим обе части неравенства на $\sqrt{2}$: $$ \cos 2x \leqslant \frac{1}{\sqrt{2}} \iff \cos 2x \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Пусть $t = 2x$. Неравенство принимает вид $\cos t \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$. На единичной окружности точки, абсциссы которых не превосходят $\frac{\sqrt{2}}{2}$, образуют дугу от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{7\pi}{4}$. С учётом периода косинуса $2\pi$: $$ \frac{\pi}{4} + 2\pi n \leqslant t \leqslant \frac{7\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Вернёмся к переменной $x$, подставив $t = 2x$: $$ \frac{\pi}{4} + 2\pi n \leqslant 2x \leqslant \frac{7\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Разделим все части неравенства на 2: $$ \frac{\pi}{8} + \pi n \leqslant x \leqslant \frac{7\pi}{8} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x \in \left[\frac{\pi}{8} + \pi n; \, \frac{7\pi}{8} + \pi n\right], n \in \mathbb{Z}$. --- ### 2) $2 \sin 3x > -1$ Разделим обе части неравенства на 2: $$ \sin 3x > -\frac{1}{2} $$ Пусть $t = 3x$. Получаем простейшее неравенство $\sin t > -\frac{1}{2}$. Ординату, строго большую $-\frac{1}{2}$, имеют точки единичной окружности, лежащие на дуге от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{7\pi}{6}$. С учётом периодичности: $$ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Подставим обратно $t = 3x$: $$ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 3x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Разделим все части неравенства на 3: $$ -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x \in \left(-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}; \, \frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}\right), n \in \mathbb{Z}$. --- ### 3) $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$ Пусть $t = x + \frac{\pi}{4}$. Неравенство принимает вид: $$ \sin t \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2} $$ На единичной окружности ординаты, меньшие или равные $\frac{\sqrt{2}}{2}$, соответствуют дуге, проходимой против часовой стрелки от точки $\frac{3\pi}{4}$ до точки $\frac{9\pi}{4}$: $$ \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leqslant t \leqslant \frac{9\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Подставим $t = x + \frac{\pi}{4}$: $$ \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leqslant x + \frac{\pi}{4} \leqslant \frac{9\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства: $$ \frac{\pi}{2} + 2\pi n \leqslant x \leqslant 2\pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x \in \left[\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \, 2\pi + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z}$. --- ### 4) $\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \geqslant \frac{\sqrt{3}}{2}$ Пусть $t = x - \frac{\pi}{6}$. Неравенство принимает вид: $$ \cos t \geqslant \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Точки единичной окружности с абсциссой, не меньшей $\frac{\sqrt{3}}{2}$, образуют дугу от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$: $$ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Подставим $t = x - \frac{\pi}{6}$: $$ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leqslant x - \frac{\pi}{6} \leqslant \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Прибавим $\frac{\pi}{6}$ ко всем частям неравенства: $$ 2\pi n \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x \in \left[2\pi n; \, \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.