ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 632

**1)** Решим уравнение: $$ 1 - \cos\left(\pi - x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2}\right) = 0 $$ Применим формулы приведения: $\cos(\pi - x) = -\cos x$, $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2}\right) = \cos\frac{x}{2}$. Подставим полученные выражения в уравнение: $$ 1 - (-\cos x) + \cos\frac{x}{2} = 0 $$ $$ 1 + \cos x + \cos\frac{x}{2} = 0 $$ Воспользуемся формулой понижения степени $1 + \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$: $$ 2\cos^2\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2} = 0 $$ Вынесем общий множитель $\cos\frac{x}{2}$ за скобки: $$ \cos\frac{x}{2}\left(2\cos\frac{x}{2} + 1\right) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1. $\cos\frac{x}{2} = 0$ $$ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2. $2\cos\frac{x}{2} + 1 = 0$ $$ \cos\frac{x}{2} = -\frac{1}{2} $$ $$ \frac{x}{2} = \pm\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ \frac{x}{2} = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pm\frac{4\pi}{3} + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ **Ответ к пункту 1:** $x = \pi + 2\pi k$; $x = \pm\frac{4\pi}{3} + 4\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$. --- **2)** Решим уравнение: $$ \sqrt{2} \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = (\sin x + \cos x)^2 $$ Преобразуем левую часть уравнения по формуле косинуса разности: $$ \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \cos x \cos\frac{\pi}{4} + \sin x \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x $$ Тогда левая часть равна: $$ \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right) = \cos x + \sin x $$ Подставим результат в уравнение: $$ \cos x + \sin x = (\sin x + \cos x)^2 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ (\sin x + \cos x) - (\sin x + \cos x)^2 = 0 $$ Вынесем общий множитель $(\sin x + \cos x)$ за скобки: $$ (\sin x + \cos x)(1 - (\sin x + \cos x)) = 0 $$ Рассмотрим два случая: 1. $\sin x + \cos x = 0$ Разделим обе части уравнения на $\cos x \neq 0$ (так как если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что противоречит тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$): $$ \text{tg}\,x + 1 = 0 $$ $$ \text{tg}\,x = -1 $$ $$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2. $1 - (\sin x + \cos x) = 0 \implies \sin x + \cos x = 1$ Разделим обе части на $\sqrt{2}$: $$ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} $$ $$ \sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Свернем левую часть по формуле синуса суммы: $$ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Отсюда получаем две серии решений: - $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$ - $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi m = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$ **Ответ к пункту 2:** $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$; $x = 2\pi n$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $k, n, m \in \mathbb{Z}$.