ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 628

1) $(\tan x - \sqrt{3})\left(2 \sin \frac{x}{12} + 1\right) = 0$ Область допустимых значений: $\tan x$ определён при $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл: 1. $\tan x - \sqrt{3} = 0$ $$\tan x = \sqrt{3}$$ $$x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Все эти значения входят в область допустимых значений. 2. $2 \sin \frac{x}{12} + 1 = 0$ $$\sin \frac{x}{12} = -\frac{1}{2}$$ $$\frac{x}{12} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = (-1)^{n+1} 2\pi + 12\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Полученные значения $x$ кратны $2\pi$, следовательно, $\cos x \ne 0$ и все корни входят в ОДЗ. Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{n+1} 2\pi + 12\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. --- 2) $\left(1 - \sqrt{2} \cos \frac{x}{4}\right)(1 + \sqrt{3} \tan x) = 0$ Область допустимых значений: $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Приравниваем каждый множитель к нулю: 1. $1 - \sqrt{2} \cos \frac{x}{4} = 0$ $$\cos \frac{x}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\frac{x}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pm \pi + 8\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Значения $x = \pm \pi + 8\pi k$ не совпадают с $\frac{\pi}{2} + \pi m$, так как при них $\cos x = \cos(\pm \pi) = -1 \ne 0$. Значит, корни удовлетворяют ОДЗ. 2. $1 + \sqrt{3} \tan x = 0$ $$\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$ $$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Эти значения также входят в ОДЗ. Ответ: $x = \pm \pi + 8\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. --- 3) $\left(2 \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 1\right)(2 \tan x + 1) = 0$ Область допустимых значений: $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Приравниваем каждый множитель к нулю: 1. $2 \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 1 = 0$ $$\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$ $$x + \frac{\pi}{6} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{\pi}{6} + (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Распишем серии для чётных и нечётных $k$: - при $k = 2m$: $x = 2\pi m$; - при $k = 2m + 1$: $x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + \pi(2m + 1) = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m$. Ни одно из этих значений не равно $\frac{\pi}{2} + \pi l$, поэтому все они входят в ОДЗ. 2. $2 \tan x + 1 = 0$ $$\tan x = -\frac{1}{2}$$ $$x = -\arctan \frac{1}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Корни входят в ОДЗ. Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan \frac{1}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. --- 4) $\left(1 + \sqrt{2} \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right)(\tan x - 3) = 0$ Область допустимых значений: $\tan x$ существует при условии $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 1. $1 + \sqrt{2} \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0$ $$\cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Рассмотрим два случая: - $x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $\cos x = 0$, следовательно, $\tan x$ не определён. Эти корни являются посторонними и не входят в ОДЗ. - $x + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = -\pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $\cos x = -1 \ne 0$, поэтому они входят в ОДЗ. 2. $\tan x - 3 = 0$ $$\tan x = 3$$ $$x = \arctan 3 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Корни входят в ОДЗ. Ответ: $x = -\pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan 3 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.