ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 623

1) $1 + 7 \cos^2 x = 3 \sin 2x$ Используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $$ \sin^2 x + \cos^2 x + 7 \cos^2 x = 3 \cdot 2 \sin x \cos x $$ $$ \sin^2 x + 8 \cos^2 x = 6 \sin x \cos x $$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$ \sin^2 x - 6 \sin x \cos x + 8 \cos^2 x = 0 $$ Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Если $\cos x = 0$, то из уравнения следует $\sin^2 x = 0$, то есть $\sin x = 0$, что противоречит тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Значит, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$: $$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 6 \cdot \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 8 \cdot \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $$ $$ \operatorname{tg}^2 x - 6 \operatorname{tg} x + 8 = 0 $$ Пусть $\operatorname{tg} x = t$, тогда получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - 6t + 8 = 0 $$ По теореме Виета корни: $t_1 = 2$, $t_2 = 4$. Возвращаемся к замене: 1) $\operatorname{tg} x = 2 \implies x = \operatorname{arctg} 2 + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$ 2) $\operatorname{tg} x = 4 \implies x = \operatorname{arctg} 4 + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$ Ответ: $x = \operatorname{arctg} 2 + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; $x = \operatorname{arctg} 4 + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$. --- 2) $3 + \sin 2x = 4 \sin^2 x$ Представим число $3$ как $3(\sin^2 x + \cos^2 x)$ и распишем $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $$ 3(\sin^2 x + \cos^2 x) + 2 \sin x \cos x = 4 \sin^2 x $$ $$ 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x + 2 \sin x \cos x - 4 \sin^2 x = 0 $$ $$ -\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $-1$: $$ \sin^2 x - 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0 $$ Так как $\cos x \neq 0$ (иначе $\sin x = 0$, что невозможно), разделим обе части на $\cos^2 x$: $$ \operatorname{tg}^2 x - 2 \operatorname{tg} x - 3 = 0 $$ Пусть $\operatorname{tg} x = t$: $$ t^2 - 2t - 3 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = 3$, $t_2 = -1$. Возвращаемся к переменной $x$: 1) $\operatorname{tg} x = 3 \implies x = \operatorname{arctg} 3 + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$ 2) $\operatorname{tg} x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$ Ответ: $x = \operatorname{arctg} 3 + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$. --- 3) $\cos 2x + \cos^2 x + \sin x \cos x = 0$ Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$: $$ \cos^2 x - \sin^2 x + \cos^2 x + \sin x \cos x = 0 $$ $$ -\sin^2 x + \sin x \cos x + 2 \cos^2 x = 0 $$ Умножим уравнение на $-1$: $$ \sin^2 x - \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0 $$ Так как $\cos x \neq 0$, разделим обе части на $\cos^2 x$: $$ \operatorname{tg}^2 x - \operatorname{tg} x - 2 = 0 $$ Пусть $\operatorname{tg} x = t$: $$ t^2 - t - 2 = 0 $$ Корни уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = -1$. Переходим к $x$: 1) $\operatorname{tg} x = 2 \implies x = \operatorname{arctg} 2 + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$ 2) $\operatorname{tg} x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$ Ответ: $x = \operatorname{arctg} 2 + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$. --- 4) $3 \cos 2x + \sin^2 x + 5 \sin x \cos x = 0$ Используем формулу $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$: $$ 3(\cos^2 x - \sin^2 x) + \sin^2 x + 5 \sin x \cos x = 0 $$ $$ 3 \cos^2 x - 3 \sin^2 x + \sin^2 x + 5 \sin x \cos x = 0 $$ $$ -2 \sin^2 x + 5 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x = 0 $$ Умножим обе части на $-1$: $$ 2 \sin^2 x - 5 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0 $$ Так как $\cos x \neq 0$, разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$: $$ 2 \operatorname{tg}^2 x - 5 \operatorname{tg} x - 3 = 0 $$ Пусть $\operatorname{tg} x = t$: $$ 2t^2 - 5t - 3 = 0 $$ $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $$ $$ t_1 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 $$ $$ t_2 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} $$ Возвращаемся к замене: 1) $\operatorname{tg} x = 3 \implies x = \operatorname{arctg} 3 + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$ 2) $\operatorname{tg} x = -\frac{1}{2} \implies x = -\operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$ Ответ: $x = \operatorname{arctg} 3 + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; $x = -\operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$.