ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 601

1) Пусть $\alpha = \arcsin \frac{3}{5}$. По определению арксинуса $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ и $\sin \alpha = \frac{3}{5}$. Так как угол $\alpha$ лежит в промежутке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, то $\cos \alpha \ge 0$. По основному тригонометрическому тождеству $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$. Получаем: $$ \cos\left(\arcsin \frac{3}{5}\right) = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $$ 2) Пусть $\alpha = \arcsin\left(-\frac{4}{5}\right)$. По определению арксинуса $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ и $\sin \alpha = -\frac{4}{5}$. Так как для любого $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ значение $\cos \alpha \ge 0$, то: $$ \cos\left(\arcsin\left(-\frac{4}{5}\right)\right) = \sqrt{1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} $$ 3) Пусть $\alpha = \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right)$. По определению арксинуса $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ и $\sin \alpha = -\frac{1}{3}$. Так как $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, косинус угла неотрицателен: $$ \cos\left(\arcsin\left(-\frac{1}{3}\right)\right) = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$ 4) Пусть $\alpha = \arcsin \frac{1}{4}$. По определению арксинуса $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ и $\sin \alpha = \frac{1}{4}$. Так как $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, косинус угла неотрицателен: $$ \cos\left(\arcsin \frac{1}{4}\right) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} $$ **Ответ:** 1) $\frac{4}{5}$; 2) $\frac{3}{5}$; 3) $\frac{2\sqrt{2}}{3}$; 4) $\frac{\sqrt{15}}{4}$.