ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 589

1) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ По формуле корней уравнения $\sin x = a$: $$ x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Так как $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$, получаем: $$ x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. 2) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Применяем общую формулу корней: $$ x = (-1)^n \arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Так как $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, имеем: $$ x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. 3) $\sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ Избавимся от иррациональности в знаменателе правой части уравнения: $$ -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ Уравнение принимает вид: $$ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ По формуле корней: $$ x = (-1)^n \arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Так как $\arcsin(-a) = -\arcsin a$, то $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$. Подставляем значение в формулу: $$ x = (-1)^n \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.