ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 516

По условию $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (угол $\alpha$ находится во II четверти). Сначала найдем $\cos \alpha$. Так как во II четверти косинус отрицателен, то: $$ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} $$ Определим четверть для угла $\frac{\alpha}{2}$. Разделим неравенство $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ на $2$: $$ \frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2} $$ Следовательно, угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в I четверти, где все тригонометрические функции принимают положительные значения. Воспользуемся формулами половинного угла: 1) Вычислим $\sin \frac{\alpha}{2}$: $$ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \left(-\frac{4}{5}\right)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{4}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} $$ 2) Вычислим $\cos \frac{\alpha}{2}$: $$ \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \left(-\frac{4}{5}\right)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{4}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} $$ 3) Вычислим $\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}$: $$ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{3}{\sqrt{10}}}{\frac{1}{\sqrt{10}}} = 3 $$ 4) Вычислим $\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2}$: $$ \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{3} $$ Ответ: 1) $\frac{3\sqrt{10}}{10}$; 2) $\frac{\sqrt{10}}{10}$; 3) $3$; 4) $\frac{1}{3}$.